Taylorreihe Logarithmus

06.01.2013, 21:14

Anahita

Taylorreihe Logarithmus

Hi Leutz :-)

Ich möchte folgende Aufgabe lösen:

"Entwickle den Logarithmus in eine Taylorreihe um x_0 = 1:

$\begin{eqnarray*} \log(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}x^{k} = : p(x) \end{eqnarray*}$

"

Bevor ich beginne zu rechnen eine Frage: Wenn ich Log(x) um x_0 = 1 entwickeln soll, ist das gleichbedeutung damit Log(x+1) zu entwickeln...?!

>_>

06.01.2013, 21:32

Dopap

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eigentlich nicht. Es ist die h -Schreibweise in der man die Entfernung zum Entwicklungspunkt darstellt, oft so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \log(1+h) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k}h^{k} = : p(h) \end{eqnarray*}$

lässt sich aber sehr schön mit Taylor entwickeln. Sehr praktisch bei kleinen Werten, z.b.

$\begin{eqnarray*} \ln(1.1)=p(0.1) \end{eqnarray*}$

Wenn es stört, kann man ja wieder mit h=x-1 substituieren um den $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ zu erhalten

06.01.2013, 22:00

Anahita

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ah so...>_> ok, danke!

Dann erhalte ich soweit mal:

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n!}f^{n}x^{n} \end{eqnarray*}$

Nochmals bevor ich weitermache andere Fragen:

Eine Taylorreihe ist ja eine Potenzreihe und Potenzreihen haben Konvergenzradien.

Eine Taylorreihe entwickelt man aber (um z.B. eine Funktion zu approximieren) möglicherweise in verschiedenen Punkten - hat dann jeder Entwicklungspunkt einen eigenen Konvergenzradius?

Und falls ja und wenn eine Funktion mit ihrer Taylorreihe übereinstimmt, das heisst analytisch ist - dann stimmt sie in allen Punkten des "allgemeinen" Konvergenzradiuses der Taylorreihe mit der Taylorreihe überein .. ?

06.01.2013, 22:53

Dopap

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wenn ab einem bestimmten Index k alle $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ der Potenzreihe von Null verschieden sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac {a_k} {a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ falls der Limes existiert.

Bei den restlichen Fragen in ich mir nicht ganz sicher - ist schon zu lange her - verwirrt

12.01.2013, 10:59

Anahita

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Hi

Meine oben gestellten Fragen sind für mich noch immer offen :/

Und was ich auch noch nicht ganz verstehe: Einerseits wird in der Aufgabe davon gesprochen, den Logarithmus um den Punkt x_0 = 1 zu entwickeln, andererseits steht dann ja log(x+1) = p(x).

Als ich es nun nochmal angeschaut habe, habe ich bemerkt, dass dann doch log(x+1) für x = 0 entwickelt wird, das entspricht doch dann wiederum dennoch der Taylorreihe von log(x)...??

Erstaunt2

Quelle (Lösungen):

http://www.math.ethz.ch/education/bachel...alysis1/l12.pdf

12.01.2013, 11:05

Che Netzer

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Zitat:

Original von Anahita
Eine Taylorreihe entwickelt man aber (um z.B. eine Funktion zu approximieren) möglicherweise in verschiedenen Punkten - hat dann jeder Entwicklungspunkt einen eigenen Konvergenzradius?

Ja, der Konvergenzradius einer Taylor-Reihe ist abhängig vom Entwicklungspunkt.

Zitat:

Und falls ja und wenn eine Funktion mit ihrer Taylorreihe übereinstimmt, das heisst analytisch ist - dann stimmt sie in allen Punkten des "allgemeinen" Konvergenzradiuses der Taylorreihe mit der Taylorreihe überein .. ?

Analytisch heißt: WENN die Taylor-Reihe konvergiert, stimmt sie mit der Funktion überein (für jeden Entwicklungspunkt). Was meinst du mit einem "allgemeinen" Konvergenzradius?

Und wenn man $\begin{eqnarray*} \log x \end{eqnarray*}$ um die Stelle Eins entwickelt, kann man auch $\begin{eqnarray*} \log(x+1) \end{eqnarray*}$ um die Stelle Null entwickeln – das könnte man anschließend mit einer Substitution $\begin{eqnarray*} x\mapsto x-1 \end{eqnarray*}$ ineinander überführen.

12.01.2013, 11:38

Anahita

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Analytisch heißt: WENN die Taylor-Reihe konvergiert, stimmt sie mit der Funktion überein (für jeden Entwicklungspunkt). Was meinst du mit einem "allgemeinen" Konvergenzradius?

Danke! Für jeden Entwicklungspunkt haben wir also einen anderen Konvergenzradius. Meine Frage war dann, ob man die Entwicklungspunkte zu einer Menge zusammenfassen kann, in der die Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt werden kann (oder ist eine analytische Funktion in ihrem ganzen Definitionsbereich durch eine Taylorreihe darstellbar?)

Zurück zu dieser Reihe: Wir sollen auch den Konvergenzradius berechnen.

Das würde ich mit Hilfe dieser Formel machen:

Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{f^{(n)}a}{n!} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? verwirrt

Sieht irgendwie seltsam aus

12.01.2013, 12:00

Che Netzer

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Eine analytische Funktion muss nicht durch eine einzige Taylor-Reihe dargestellt werden können. Aber egal, wo man sie entwickelt; die Taylor-Reihe stimmt in ihrem Konvergenzbereich mit der Funktion überein.

Dein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dürfte stimmen, aber woher kommt die Fakultät in $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2013, 12:54

Anahita

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Du hast recht. Es sollte heissen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich für den Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n} }{\frac{(-1)^{n+2}}{n+1}} | = \lim_{n \to \infty} | \frac{1+1/n}{1} | = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Als nächstes soll die Frage beantwortet werden, ob log im Konvergenzbereich durch die Taylorreihe p dargestellt wird. Wie muss man genau vorgehen?
Beim googlen habe ich folgendes Kritierum gefunden:

Sei K eine reelle Zahl:

$\begin{eqnarray*} | f^{n}(t) | \leq K \ \forall n \in \mathbb N \ \forall t \in [x_{0},x] \end{eqnarray*}$

dann wird f durch ihre Taylorreihe dargestellt. Ich bin aber ziemlich sicher, dass wir dieses Kriterium nie angeschaut haben. Wie soll ich also vorgehen?

12.01.2013, 13:02

Che Netzer

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Jetzt sind eigentlich noch die Ränder zu untersuchen. Danach kannst du zu festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Konvergenzbereich das Restglied abschätzen.

12.01.2013, 15:03

Anahita

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Hm. Ich verstehe das Thema wahrscheinlich noch zu wenig.
Ich hab nachgeschaut und bei uns steht Folgendes:

Potenzreihen konvergieren absolut und gleichmässig innerhalb des Konvergenzradius (ist mir klar).

Also sei folgende Behauptung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} p(0) = f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall | x | < 1: p'(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern ist dies äquivalent damit, dass die Taylorreihe im Konvergenzradius gegen die Funktion konvergiert?

12.01.2013, 15:11

Che Netzer

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Hattet ihr denn keine Restgliedabschätzung für Taylor-Entwicklungen.
Etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2013, 15:33

Anahita

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Doch, so etwas steht im Skript - also eine Abschätzung mit einem Supremum - aber ist das für den Beweis hier nötig? Ich sehe jedenfalls explizit nirgends etwas von einem Restglied erwähnt.

12.01.2013, 15:34

Che Netzer

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Wenn das Restglied aber gegen Null geht, konvergiert die Reihe.

12.01.2013, 15:45

Anahita

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sprichst du jetzt von dem Ansatz, den ich aufgeschrieben habe - oder wäre das ein alternativer Lösungsweg?

12.01.2013, 15:47

Che Netzer

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Ich wüsste nicht, wie man deinen Ansatz verwenden könnte...

Ich würde zeigen, dass das Restglied für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

12.01.2013, 15:54

Huggy

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Die Taylorreihe einer Funktion kann konvergieren und trotzdem die Funktion außerhalb des Entwicklungspunktes nicht darstellen. Bekanntes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-\frac {1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

f(x) ist in 0 beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen sind 0. Die Taylorreihe konvergiert also also in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , stellt aber außer bei x = 0 nirgends f(x) dar.

Zitat:

Original von Anahita
Also sei folgende Behauptung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} p(0) = f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall | x | < 1: p'(x) = f'(x) \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern ist dies äquivalent damit, dass die Taylorreihe im Konvergenzradius gegen die Funktion konvergiert?

Potenzreihen können innerhalb des Potenzradius gliedweise differenziert und integriert werden. Nun sieht man, dass die Ableitung der Taylorreihe von ln(1+x) gerade die Funktion 1/(1+x) darstellt, also die Ableitung von ln(1+x). Man bekommt ja die geometrische Reihe.

12.01.2013, 16:47

Anahita

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Hi Huggy

Ja, das hab ich mittlerweile kapiert, dass man dann einfach gliedweise differenzieren kann.

Was mir noch nicht ganz klar ist, ist wie man von der Gleichheit der ersten Ableitungen auf die Gleichheit der Pontenzreihe mit der ursprünglichen Funktion schliessen kann.
Also f'(x) = p'(x) => f(x) = p(x) für alle abs(x) <1. Was ist da der entscheidende Gedanke?

Danke

12.01.2013, 16:56

Huggy

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Das kann sich ja noch um eine Konstante unterscheiden. Deshalb brauchst du noch die Übereinstimmung in einem Punkt, z. B. im Punk 0, wie in dem Hinweis.

12.01.2013, 17:14

Anahita

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Ok, und die Konvergenz für abs(x) < 1 folgt aus den Eigenschaften der geometrischen Reihe.

Und demnach kann es denn nicht sein, dass die Ableitungen übereinstimmen und wie wir sehen auch die Funktionswerte im Punkt Null - aber in einem anderen Punkt innerhalb des Konvergenzradiuses würden die Funktionswerte doch nicht übereinstimmen? Denn dies wäre im Widerspruch zum Mittelwertsatz?

12.01.2013, 17:30

Huggy

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Deine letzte Bemerkung versteh ich nicht. Also ganz ausführlich: Es sei T(x) die Taylorreihe von ln(1+x). T(x) konvergiert für |x| < 1, stellt also dort jedenfalls eine Funktion dar. T(x) dürfen wir gliedweise differenzieren und erhalten dadurch die Potenzreihe von T'(x), die denselben Konvergenzradius hat. Nun ist nach dem Hauptsatz der Diff-Int.

$\begin{eqnarray*} \int T'(x) dx = T(x) +c \end{eqnarray*}$

Andererseits sehen wir aus der Potenzreihe von T'(x)

$\begin{eqnarray*} T'(x)=\frac {1}{1+x} \end{eqnarray*}$

Damit haben wir

$\begin{eqnarray*} \int T'(x) dx = \int \frac {1}{1+x} dx= \ln (1+x) +c \end{eqnarray*}$

Das ergibt zusammen

$\begin{eqnarray*} T(x)= \ln (1+x) +c \end{eqnarray*}$

Und wegen T(0) = ln(1+ 0) ist c = 0.

12.01.2013, 17:39

Anahita

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Danke! Das verstehe ich.. - aber an diesem Punkt haben wir die Integration gar nicht behandelt.

Das einzige, das ich kenne, und in diesem Zusammenhang "helfen" würde ist der Mittelwertsatz:

Aus diesem Satz folgt nämlich dass für eine stetige Funktion f: [a,b] -> R welche auf (a,b) differenzierbar ist gilt dass falls f' = 0 auf (a,b), dann ist f konstant.

Man könnte also sagen, dass wenn f'(x) = p'(x) dann f(x) = p(x) + c, c ist aber nach dem Mittelwertsatz konstant (und hier gleich Null).

Stimmt das so auch?

Vielen Dank

12.01.2013, 17:52

Huggy

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Ehrlich gesagt, verstehe ich nur Bahnhof. Aus f'(x) = p'(x) folgt f(x) = p(x) + c mit einer Konstanten c. Das kannst du als bekannt voraussetzen. Es wird ja bewiesen, lange bevor Potenzreihen kommen. Wozu brauchst du da noch den Mittelwertsatz? Und mehr habe ich über das Integrieren auch nicht benutzt.

12.01.2013, 18:04

Anahita

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Zitat:

Original von Huggy
Ehrlich gesagt, verstehe ich nur Bahnhof. Aus f'(x) = p'(x) folgt f(x) = p(x) + c mit einer Konstanten c. Das kannst du als bekannt voraussetzen.

So etwa das haben wir mit dem Mittelwertsatz bewiesen.

Und der Mittelwertsatz wird in dieser Aufgabe auch als Hinweis genannt.

Ich habe es aber eigentlich denke ich zum grössten Teil verstanden, genauer kann ich dann noch unsere Hilfsassis fragen.

Vielen Dank @ Beide.

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