reihen konvergenz

06.01.2013, 23:05

Ratofix

reihen konvergenz

Meine Frage:
Es sei die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} 2^{-n} \end{eqnarray*}$ für n gerade und $\begin{eqnarray*} 3^{-n} \end{eqnarray*}$ für n ungerade. entscheiden sie ob die reihe konvergent oder divergent ist

Meine Ideen:
Ich habe nun sowohl quotienten als auch wurzelkriterium angewendet. Beim wurzelkriterium erhalte ich für gerade n das der lim 1/2 ist und somit kleiner als 1 und für ungerade n 1/3 also auch kleiner als 1 somit spricht alles für konvergenz. beim quotientenkriterium erhalte ich für n gerade $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = \frac{3^{-k} }{2^{-n} } \end{eqnarray*}$ mit k = n+1, was kleiner als 1 ist. für ungerdade n erhalte ich jedoch $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = \frac{2^{-k} }{3^{-n} } \end{eqnarray*}$ was größer als 1 ist und somit für divergenz spricht. Bedeutet das, das die beiden reihen einzeln betrachtet (für gerade und für ungerade n) konvergieren aber gegen unterschiedliche zahlen und somit die reihe als ganzes betrachtet nicht?

07.01.2013, 01:09

Mulder

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RE: reihen konvergenz
Das Quotientenkriterium kannst du hier nicht direkt anwenden. Lies dir nochmal die Definition durch!

Schätz doch einfach ab:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{1}{2^n} \quad \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man das Quotientenkrierium ins Spiel bringen, wenn man es denn damit machen möchte. Das Majorantenkriterium schließt das Ganze dann ab.

Zitat:

Bedeutet das, das die beiden reihen einzeln betrachtet (für gerade und für ungerade n) konvergieren aber gegen unterschiedliche zahlen und somit die reihe als ganzes betrachtet nicht?

Wieso "beide Reihen"? Wir haben nur eine Reihe vorliegen.

07.01.2013, 02:13

ratofix

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Ok danke das leuchtet ein, wir hatten nur halt als tip bekommen das wir wurzel und quotientenkriterium anwenden sollen.

ja das mit den zwei reihen war ziemlicher quatsch ^^

vielen dank für die schnelle antwort

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