Schnittpunkte berechnen: Gerade schneidet Parabel 2

07.01.2013, 00:50

Tipso

Schnittpunkte berechnen: Gerade schneidet Parabel 2

Hallo,

Ich setze die Parabel und die Gleichung gleich.

$\begin{eqnarray*} x^3 - 2 = x - 2 | -x| +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 - x = 0 \end{eqnarray*}$

Hier fangen meine Probleme an:
Darf ich durch probieren alle Lösungen finden?

0 = richtig

1 = richtig

-1 = richtig

Zitat:

Die Gefahr ist aber dass ich was übersehe?

Alternative?

Horner oder Faktorisieren nehme ich an.

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 - 1\right) \end{eqnarray*}$

lg

07.01.2013, 00:55

mYthos

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Selbstverständlich faktorisieren! Und dann kommt die Sache mit dem Nullprodukt!
Was macht man, wenn ein Produkt Null ist? Was gilt dann für die Faktoren? Könnte es sein, dass du das noch immer nicht verstehst?

mY+

07.01.2013, 00:57

10001000Nick1

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Die Gleichung hat höchstens so viele Lösugen, wie der Grad ist. Also: Grad ist 3, du hast 3 Lösungen und deshalb nichts übersehen.
Eine andere Möglichkeit ist: x ausklammern. Dann ist die erste Lösung 0 und mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnest du noch die Nullstellen von dem, was in der Klammer steht.

07.01.2013, 00:59

mYthos

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Da braucht es keine Lösungsformel! $\begin{eqnarray*} x^2 - 1= 0 \end{eqnarray*}$ ist einfacher zu lösen!

07.01.2013, 00:59

Tipso

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RE: Schnittpunkte berechnen: Gerade schneidet Parabel 2
Hi,

Zitat:

Was macht man, wenn ein Produkt Null ist?

Dann ist mein Ergebnis 0.

Zitat:

Was gilt dann für die Faktoren?

Sie müssen alle 0 sein.

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 - 1\right) \end{eqnarray*}$

x = N_1 = 0

$\begin{eqnarray*} \left(x^2 - 1\right) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich zwei Lösungen, was die Sache bzw. mein Problem darstellt.
Es ist offensichtlich dass ich hier 1 und -1 einsetzen kann.
Liegt es am Quadrat das ich 2 Lösungen haben muss?

lg

07.01.2013, 01:06

mYthos

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Ja.

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm 1 \end{eqnarray*}$
___________

Oder:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1) \cdot (x+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Was passiert nun weiter beim Nullsetzen der einzelnen Faktoren?

mY+

07.01.2013, 01:19

Tipso

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Zitat:

Was passiert nun weiter beim Nullsetzen der einzelnen Faktoren?

Sie müssen richtig sein.

Ich weiß nicht genau was du mit, was passiert mit ihnen meinst.

Wir müssen für x etwas einsetzen damit die Gleichung richtig ist.
In diesem Fall ist es 1 bei $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ und -1 bei $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ .

lg

07.01.2013, 01:29

mYthos

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Ich hatte richtig vermutet, dass du das noch immer nicht durchschaut hast.
Wenn ein Produkt Null ist, so gilt das auch für mindestens einen Faktor.
In

(x - 1)*(x + 1) = 0

können sogar beide Faktoren Null sein. Also setze doch jeden einzelnen getrennt gleich Null, da wird nichts eingesetzt oder gar erraten!

1.
x - 1 = 0 --> (auf beiden Seiten 1 addieren) --> x1 = 1

2.
Mache es zu Ende!

07.01.2013, 01:43

Tipso

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Hi,

Dass habe ich natürlich nicht gewusst.

x+1 = 0 |-1

x = -1

x_2 = -1

lg

07.01.2013, 01:47

mYthos

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So ist es. Jetzt bist du ganz einfach zu den beiden letzten Lösungen gekommen.
Die erste war ja 0.
Du hast das hoffentlich nun kapiert? Big Laugh

mY+

07.01.2013, 02:02

Tipso

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RE: Schnittpunkte berechnen: Gerade schneidet Parabel 2
Nein, leider nicht.

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 - 1\right) \end{eqnarray*}$

Ich glaube,

weil:

Die erste Gleichung 0 ist ist auch unser x 0.
Da wenn ein Faktor 0 ist ist der andere Faktor auch 0.

lg

07.01.2013, 15:51

mYthos

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RE: Schnittpunkte berechnen: Gerade schneidet Parabel 2

Zitat:

Original von Tipso
...
Da wenn ein Faktor 0 ist ist der andere Faktor auch 0.
...

Nein.
Du wirst sicher zustimmen, dass 0*8 = 0 ist. Dennoch ist der andere Faktor 8 und NICHT 0.
Es geht vielmehr darum:

Wenn ein Produkt Null ist, so muss MINDESTENS ein Faktor Null sein, es können auch MEHRERE Faktoren Null sein (!).

Bei a*b*c*d*e = 0 kann jeder der 5 Faktoren Null werden, also a = 0 oder b = 0 oder c = 0 oder d = 0 oder e = 0.

In
(x - 1)*(x + 1) = 0

gibt es zwei Möglichkeiten, eben (x - 1) = 0 ODER (x + 1) = 0. Aus jeder der beiden kleinen Gleichungen kann nun das entsprechende x berechnet werden.

Zur Übung: Löse

$\begin{eqnarray*} x*(2x - 5)*(4x^2 - 9) = 0 \ \text{(4 Loesungen)} \end{eqnarray*}$

mY+

07.01.2013, 22:41

Tipso

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Hi,

Zitat:

gibt es zwei Möglichkeiten, eben (x - 1) = 0 ODER (x + 1) = 0. Aus jeder der beiden kleinen Gleichungen kann nun das entsprechende x berechnet werden.

Verstehe dies nicht ganz.

müssen doch beide 0 sein und nicht nur eine der beiden Gleichungen.

$\begin{eqnarray*} (x - 1) = 0 ODER (x + 1) = 0. \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} (x - 1) = 0 und (x + 1) = 0. \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} x*(2x - 5)*(4x^2 - 9) = 0 \ \text{(4 Loesungen)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x - 5 = 0 |+5|:2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2 - 9 = 0 |+9 |:4 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{9}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = - 1,5 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht genau woher ich -1,5 habe, ich glaube, da ich eine Wurzel habe weiß ich nicht ob diese negativ oder positive ist, deswegen - und + 1,5.

lg

08.01.2013, 23:44

mYthos

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Die Lösungen des Beispieles sind so weit richtig.
Die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = a \end{eqnarray*}$ hat ZWEI Lösungen, wegen des Quadrates, somit ist

$\begin{eqnarray*} x_1 = + \sqrt a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \sqrt a \end{eqnarray*}$

Der Grund für die beiden Vorzeichen ist recht einfach, denn $\begin{eqnarray*} (+\sqrt a)^2 = a \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} (- \sqrt a)^2 = a \end{eqnarray*}$ , weil auch (-)*(-) = (+), wie man schon so schön in der Grundstufe lernt.
_________________

So wie etwas nicht GLEICHZEITIG weiß UND schwarz sein kann, ist auch x - 1 = 0 UND (x + 1) = 0 NICHT gleichzeitig möglich. Also gilt: Entweder ODER, die Lösungen sind daher mit "ODER" verknüpft.
Entweder x = 1 ODER x = -1, dir wird sicher klar sein, dass x NICHT GLEICHZEITIG +1 UND -1 sein kann.

Natürlich kannst du bei dem Produkt (x - 1)*(x + 1) = 0 BEIDE Faktoren (nacheinander!) Null setzen, wenn dies möglich ist.

mY+

09.01.2013, 01:10

Tipso

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Danke.

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