Herleitung Vektorprodukt aus Skalarprodukt

07.01.2013, 09:44	Phyl987	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Vektorprodukt aus Skalarprodukt Meine Frage: Morgähn.., Also ich frage mich gerade, ob man nicht das Vektorprodukt auch aus dem Skalarprodukt herleiten kann... Meine Ideen: Angenommen wir haben 3 Vektoren (in 3D). Zwei seien gegeben ( A=[a,b,c], D=[d,e,f] ), einer gesucht ( X=[x,y,z] ), wobei dieser natürlich senkrecht auf beiden stehe. "A x D" führt schnell zum Ziel, das will ich aber nicht. Stattdessen soll "A.X=0" und "D.X=0" gelöst werden.. Das führt auf zwei Gleichungen. Wenn ich die verwurste, habe ich folgendes im Angebot: Entweder: 1)"I-II": (a-d)x + (b-e)y + (c-f)z = 0, 2)"I+II": (a+d)x + (b+e)y + (c+f)z = 0, oder 3)"zB. z=z": (fa-cd)x + (fb-ce)y = 0 zu3) x = (ce-fb)/(fa-cd)*y Das sieht ja schon fast fertig aus. Mit y=(cd-fa) stimmt es auch. Aber warum?! Wie komme ich dort hin? Ich kann aus Symmetrien schließen, dass x, y und z die gleiche gestalt besitzen. -Nur welche..?? (Was fehlt hierbei noch???? Welche Eigenschaften werden noch an die Gleichungen für x,y,z gestellt und wodurch..?!) Oder etwas getrickst: Warum besitzt sie jeweils die Form "pq-uv"?? (- Warum ist die Gleichung nicht zB. rational etc.?) Wenn man "3)" auch mit "x=x" und "y=y" durchführt, sticht einem die Lösung fast schon ins Auge. Dann nurnoch einen Ansatz wählen und überprüfen. - Aber das soll es nicht sein! Es geht mir sicher nicht ums Ergebnis, sondern um den Weg. Ohne Raten, allerhöchstens mittels Erkennen. Zum stumpfen Ausrechnen feht mir irgendwie noch eine Gleichung... Kann mir da jemand weiter helfen?!? MfG Phyl
07.01.2013, 10:58	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Vektorprodukt aus Skalarprodukt Das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ hat mehr Eigenschaften als nur auf den beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ senkrecht zu stehen. Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ hat eine wohldefinierte Länge. Es gilt bekanntlich $\begin{eqnarray} \|\vec a \times \vec b \|= \| \vec a \| \|\vec b \| \sin \varphi \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ ist. Außerdem bilden die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ ein sogenanntes Rechtssystem. Was das ist, kannst du in der Wiki nachlesen. Dagegen hat das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec x =0 \quad \vec b \cdot \vec x =0 \end{eqnarray}$ jeden Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ als Lösung, der auf $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ senkrecht steht. Deshalb kann das Vektorprodukt nicht so einfach auf das Skalarprodukt zurückgeführt werden.
07.01.2013, 19:39	Phyl987	Auf diesen Beitrag antworten »
Nabend, Danke schonmal. Stimmt schon, aber das lässt sich alles mit einbeziehen: Wir nehmen dann statt "A x D" einfach "s * A x D", wobei das Skalar s frei sei. Wahlweise kann man auch die Skalarprodukte mit Vorfaktoren versehen. Nun sollte das Vektorprodukt doch mit dem Gleichungssystem aus Skalarprodukten übereinstimmen.. Allerdings macht es die Sache nicht einfacher... Mal angenommen man wüsste nichts vom Vektorprodukt. Wie bestimmt man dann einen, zu den anderen Vektoren orthogonalen, Vektor mittels Skalarprodukt?!? Dieser muss ja eben bis auf die Länge dem Resultat des Vektorprodukts entsprechen. Die Frage ist also nicht, was bei der Betrachtung des Vektorprodukts fehlt, sondern bei der des Skalarprodukts. Nimmt man für s auch negative Werte an (=Spiegelung), spielt die Händigkeit (links od. rechts) auch keine Rolle. Hier noch die Gleichungen, bei denen man das Ergebnis schon sieht - wenn man es kennt...: x/y = (bf - ce) / (cd - af) x/z = (bf - ce) / (ae - bd) Spätestens hier würde ein Vorfaktor eh wegfallen.. Aber darauf kommt es nicht an. "Oben" steht schon die Gleichung für x, "unten" jeweils für y oder z!!! DAS ist das verrückte daran!!!!! Ich denke, ich steh' nicht nur im Wald, sondern direkt vorm Baum. Man müsste das doch mittels Mathematik (=das, was der PC nicht kann) und nicht nur mittels Rechnen (=was der PC besser kann, hierbei aber so auch nicht geht) lösen können. (Das ist auch der Grund dafür, warum das Thema nicht in "Schulmathe" gelandet ist, wobei es vielen schon aus Schulzeiten bekannt sein dürfte, wenn auch nicht aus dieser Sicht.) Dazu schon der Ansatz der Symmetrie bzw. "Isotropie der Achsen": Danach sollten alle Gleichungen vom Aufbau her die selbe Gestalt besitzen ("uniform sein"). ...oder bin ich schon fertig, ohne es zu wissen?!?...könnte ja auch sein...und wäre auch sicher nicht das erste Mal, wenn ich das Gefühl habe in einer Sackgasse zu stehen... Das wäre dann eine Art von "Meta-Mathe", die mir nicht so geläufig ist..
07.01.2013, 22:35	Phyl987	Auf diesen Beitrag antworten »
...hat sich erledigt! Jaja zu viel Freiheit an falscher Stelle stiftet nur Verwirrung...

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