Fläche parametrisieren

07.01.2013, 10:06	RST	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche parametrisieren Meine Frage: Hallo zusammen, habe Probleme eine Parametrisierung für die Fläche A\subset R^3 mit A={(x,y,z)^T\in R^3\|x^2+2y^2+3z^2=4} zu finden. Meine Ideen: ...
07.01.2013, 11:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um die Oberfläche des Ellipsoides $\begin{eqnarray} \tfrac{x^2}{2^2}+\tfrac{y^2}{\sqrt{2\,\,}^2}+\tfrac{z^2}{\left (\tfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^2}=1 \end{eqnarray}$ Die 3 Halbachsen kann man ablesen $\begin{eqnarray} a=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=\tfrac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ Da ein Ellipsoid eine verzerrte Kugel ist, ist dessen Parametrisierung ähnlich wie bei der Kugel: $\begin{eqnarray} x=a\cdot \cos(\phi)\cdot \sin(\theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=b\cdot \sin(\phi)\cdot \sin(\theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=c\cdot \cos(\theta) \end{eqnarray}$ Setze hier die obigen Werte a, b, c ein. Bei der Kugelfläche stünde anstelle der 3 Werte a,b,c der Radius R.
07.01.2013, 12:18	RST	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Die komplette Aufgabe lautet: (a) Bestimmen Sie einen Normalenvektor an A im Punkt $\begin{eqnarray} (1,0,1)^T \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz: Parametrisierung: $\begin{eqnarray} S(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \sqrt[2]{\frac{1}{3}(4-2y^2-x^2) }\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Normalenvektor: Da die Parametrisierung die Form $\begin{eqnarray} S(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , hat der Normalenvektor die Form $\begin{eqnarray} n(S(x,y))=\begin{pmatrix} - dx f(x,y) \\ - dy f(x,y) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow n(S(x,y))=\begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt[2]{\frac{1}{3}(4-2y^2-x^2) } } \\ \frac{2y}{\sqrt[2]{\frac{1}{3}(4-2y^2-x^2) } } \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} n(1,0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine das müsste so richtig sein. (b) Bestimmen sie das Flächenintegral 2. Art $\begin{eqnarray} \int \! F \, dS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^2+y^2 \\ x^2+z^2 \\ x^2+y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ab hier hapert es Ich weiß, dass das Integral folgend bestimmt wird: $\begin{eqnarray} \int \! F \, ds \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int \! F(S(x,y))n(x,y) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$ Was sind meine Integrationskonstanten?

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