Klausuraufgabe |
| 07.01.2013, 10:17 | sneeper | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Klausuraufgabe Guten Morgen, ich habe heute eine Klausur wieder bekommen. Die letzte Aufgabe war aus dem Anforderungsbereich 3 und hat mir arge Probleme bereitet. Selbst in meiner Nacharbeitung habe ich große Probleme die Aufgabe zu lösen. Gegeben: f(x)=x^3+x^2+cx+d. Welche Bedingungen müssen für c und d gelten, damit die Funktion genau eine Nullstelle bei x=1 hat. Durch einsetzen ist schnell klar, dass c+d=-2 gelten muss. Dann besitzt die Funkion bei x=1 eine Nullstelle. Aber wie gehe ich dann zeiteffektiv weiter vor? Außerdem haben wir mit komplexen Nullstellen sonst noch nie gearbeitet. Wie löse ich also die Aufgabe am besten??? Schon mal danke für alle Tips Meine Ideen: f(1)=0 <=> f(1)=1+1+c+d=0 <=> c+d=-2 |
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| 07.01.2013, 10:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sollte der Graph einer Funktion denn mehrmals dieselbe Nullstelle haben ? Oder wird hier auf so genannte "mehrfache" Nullstellen angespielt, also dass man die Fälle "doppelte" und "dreifache" Nullstelle auch noch betrachten und ausschließen soll ? |
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| 07.01.2013, 10:34 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Klausuraufgabe
Die Funktion hat genau eine Nullstelle, diese liegt bei x=1..... Das ist erst mal nur eine Bedingung, die Sicherstellt, dass die Funktion eine Nullstelle bei x=1 hat, dass es auch die einzige Nullstelle ist, ist damit noch nicht sichergestellt. Polynomdivision liefert dir zum Beispiel: Der bei der Polynomdivision anfallende Rest ist , dieser muss 0 werden, also ist eine Bedingung, wie du auch bereits geschrieben hast, d+c+2=0. Nun muss aber das Polynom irreduzibel sein, sprich, es darf keine Nullstelle haben. Kurz angeschaut sehen wir, dass es sich um eine Parabel handelt, die nach oben geöffnet ist, also muss der Scheitelpunkt dieser Parabel oberhalb der x-Achse liegen. Umformen in die Scheitelpunktform und zweite Bedingung aufstellen. Beide Bedingungen zusammen sind erst hinreichend für die Behauptung! |
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| 07.01.2013, 10:59 | sneeper88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
boa bin ich doof... daran hab ich gar nicht gedacht. ich habe die behauptungen aufgestellt, dass entweder keine maxima bestehen => es existiert nur eine nullstelle oder dass beide maxima das selbe vorzeichen haben. das ist natürlich ewig aufwändig und in klausurzeit nicht machbar. danke für den hinweis! |
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| 07.01.2013, 11:13 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde gar nich mal sagen, dass es viel Rechenwufwendiger ist, müsste man mal ausprobieren, klappt auf diesem Weg aber auch. Ein kleimer Fehler: eine Funktion dritten Grades kann zwei Extremstellen haben, aber nicht zwei lokale Maxima! |
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| 07.01.2013, 11:17 | sneeper88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
äh Extrema klar^^ und diese Rechnung ist echt ziemlich aufwändig. Du musst drei Fälle betrachten: Extrema beide <0, Extrema beide >0 oder keine Extrema. hab ich zuhause bestimmt 2 stunden gebraucht. in einer Klausur einfach nicht machbar |
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| 07.01.2013, 11:19 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht mal ausschließlich in x=1 ? (Scheitelpunkt in S(1|0)) 
Ist zwar hier nicht möglich, aber ansprechen müsste man diesen Fall doch, oder ? |
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| 07.01.2013, 11:22 | sneeper88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das geht ja nicht. wo sollte dann die 3. Nullstelle sein? Dann auch nur noch bei x=1 dann wäre aber f(x)=(x-1)^3 und das entspricht nicht der Voraussetzung. Und eine komplexe Nullstelle kann es ja auch nicht geben 
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| 07.01.2013, 11:25 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man sieht doch an der Scheitelpunktform , dass der Scheitelpunkt bei liegt, ein Scheitelpunkt bei ist also nicht drin. Desweieteren habe ich die Aufgabe so aufgefasst, dass die Funktion genau eine einfache Nullstelle hat bei x=1. Natürlich ist richtig, wenn es auch eine mehrfache Nullstelle sein darf müsste man diesen Fall auch noch ansprechen. |
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| 07.01.2013, 11:27 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh je 
, komplexe Nullstellen hat das Polynom genau 3 !!!Es gibt also, egal wie das Polynom ausschaut immer 3 Nullstellen über , Fundamentalsatz der Algebra...... |
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| 07.01.2013, 12:24 | sneeper88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
komplexe nullstellen treten jedoch immer konjugiert auf, von daher kann es EINE KOMPLEXE NULLSTELLE nicht geben, damit fällt es schon flach, dass x=1 eine doppelte Nullstelle ist. Entweder einfach oder 3 fach. 3 fach geht aber nach Vorraussetzung nicht, daher macht es keinen Sinn zu prüfen ob es eine doppelte wäre... Oh je |
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| 07.01.2013, 12:41 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"eine komplexe Nullstelle" bedeutet in der Mathematik "mindestens eine". Es ist richtig, genau eine komplexe und nicht reelle (immerhin ist jede reelle Nullstelle auch eine komplexe, da ) Nullstelle kann es nicht geben, da bei Polynomen mit reellen Koeffizienten stets das komplex konjuguerte einer Nullstelle auch Nullstelle des Polynoms ist. Diesbezüglich muss man seine Wortwahl wählen. Ebenfalls ist richtig, dass 1 entweder eine einfache oder eine dreifache Nullstelle ist, zweiteres fällt weg. Aber wie bereits geschrieben: Polynomdivision und Scheitelpunktform der Parabel bringt den Rest mit sich, eine Bedingung für c, die Lage des Scheitelpunktes bei x=-1...... Da braucht man gar nichts mehr zusätzlich rechnen. Bei der Argumentation, dass f(x)=(x-1)³ sein muss - die ja richtig ist - müsste man streng genommen noch einen Koeffizientenvergleich durchführen.... |
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| 07.01.2013, 12:43 | sneeper88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
damit war ich auch schon um 10:59 zufrieden und hatte es dann raus. (x-1)^3 fällt aber raus, da dort dann x^3 - 3*x^2... steht. das passt nicht zur Aufgabe. es fällt damit also raus! |
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| 07.01.2013, 12:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dennoch steht dem nichts im Wege, alternative Lösungen durchzusprechen, und Bjoerns Hinweis war ja richtig. |
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