Beweis eines trigonometrischen Lemmas

07.01.2013, 11:18

Pfannchen

Beweis eines trigonometrischen Lemmas

Meine Frage:
Ich brauche für einen Teil eines Vortrags den Beweis für folgende Gleichung:

Für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N ungerade \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{sin mx}{sin x}=(- 4)^{\frac{m-1}{2}} Produkt mit Grenzen 1\leq j\leq \frac{m-1}{2} von (sin^{2}x- sin^{2} \frac{2\pi j}{m}) \end{eqnarray*}$

(sorry, habe das Produktzeichen nicht gefunden...)

Meine Ideen:
folgende Beweisskizze habe ich zur Verfügung:
beweise zunächst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{sin mx}{sin x} \end{eqnarray*}$ ein Polynomvom Grad $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin^{2}x \end{eqnarray*}$ ist. Bemerke dann, dass das Polynom die Nullstellen $\begin{eqnarray*} sin^{2}\frac{2\pi j}{m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ hat; den Faktor $\begin{eqnarray*} (-4)^{\frac{m-1}{2} } \end{eqnarray*}$ erhält man, indem man die Koeffizienten auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} e^{i(m-1)x} \end{eqnarray*}$ vergleicht.

Leider habe ich absolut keine Idee, wie ich ansetzen soll; $\begin{eqnarray*} \frac{sin mx}{sin x} \end{eqnarray*}$ umformen (?), aber wie???

07.01.2013, 16:13

RavenOnJ

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mach's nochmal mit \prod\limits^n_{k=1}a_k

$\begin{eqnarray*} \prod\limits^n_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 16:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pfannchen
beweise zunächst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{sin mx}{sin x} \end{eqnarray*}$ ein Polynomvom Grad $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin^{2}x \end{eqnarray*}$ ist.

Das kannst du per Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ beweisen. Im Induktionsanfang zeigst du das für m=1 und m=3.

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m\to m+2 \end{eqnarray*}$ nutzt du Additionstheoreme: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sin((m+2)x) = \sin(mx+2x) = \sin(mx)\cos(2x)+\cos(mx)\sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin((m-2)x) = \sin(mx-2x) = \sin(mx)\cos(2x)-\cos(mx)\sin(2x) \end{eqnarray*}$

Beides summiert sowie $\begin{eqnarray*} \cos(2x)=1-2\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt kommt man zu

$\begin{eqnarray*} \sin((m+2)x) = 2(1-2\sin^2(x))\sin(mx) - \sin((m-2)x) \end{eqnarray*}$ .

07.01.2013, 17:07

Pfannchen

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danke, RavenOnJ ! dann hier noch mal die richtige Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (-4)^{\frac{m-1}{2} } \prod\limits_{1\leq j\leq \frac{m-1}{2} }(sin^{2} x sin^{2} \frac{2\pi j}{m}) \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 18:03

Pfannchen

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Vielen Dank Hal 9000!!!An Induktion habe ich gar nicht gedacht...
Bis hierhin habe ich das jetzt (endlich :-) ) alles nachvollzogen. Ich habe jetzt also

$\begin{eqnarray*} \sin((m+2)x) = 2(1-2\sin^2(x))\sin(mx) - \sin((m-2)x) \end{eqnarray*}$ .

Nach Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(mx)}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} (m-1)/2 \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} \frac{(2(1-2\sin^2(x))sin(mx)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} +1= \frac{m+2-1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Damit wäre also der erste Teil gezeigt.
Mal sehen, jetzt müsste der Rest besser laufen...

07.01.2013, 20:05

Pfannchen

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Das ist doch alles gar nicht so einfach...ich hänge schon wieder, beim Berechnen der Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(mx)}{sin(x)}=0 \Leftrightarrow sin(mx)=0 \Leftrightarrow mx=k\pi mit k\in Z \end{eqnarray*}$
Das ist aber nicht, wie gesucht, $\begin{eqnarray*} sin^{2} (\frac{2\pi j}{m} ) \end{eqnarray*}$ ...
Ich bin euch dankbar für jeden Hinweis!!!

07.01.2013, 20:16

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Pfannchen
danke, RavenOnJ ! dann hier noch mal die richtige Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (-4)^{\frac{m-1}{2} } \prod\limits_{1\leq j\leq \frac{m-1}{2} }(sin^{2} x sin^{2} \frac{2\pi j}{m}) \end{eqnarray*}$

Soll das gelten?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(mx)}{\sin(x)} = (-4)^{\frac{m-1}{2} } \prod\limits_{1\leq j\leq \frac{m-1}{2} }\Big\{\sin^{2}(x) -\sin^{2}\Big(\frac{2\pi j}{m}\Big)\Big\} \end{eqnarray*}$

Oder wie ist das zu verstehen?

08.01.2013, 09:09

Pfannchen

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Soll das gelten?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(mx)}{\sin(x)} = (-4)^{\frac{m-1}{2} } \prod\limits_{1\leq j\leq \frac{m-1}{2} }\Big\{\sin^{2}(x) -\sin^{2}\Big(\frac{2\pi j}{m}\Big)\Big\} \end{eqnarray*}$

Oder wie ist das zu verstehen?

ja genau, das soll gelten. Mit $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N ungerade \end{eqnarray*}$ .
sorry, hatte beim zweiten mal den linken Teil der Gleichung vergessen...

08.01.2013, 09:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pfannchen
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(mx)}{sin(x)}=0 \Leftrightarrow sin(mx)=0 \Leftrightarrow mx=k\pi mit k\in Z \end{eqnarray*}$
Das ist aber nicht, wie gesucht, $\begin{eqnarray*} sin^{2} (\frac{2\pi j}{m} ) \end{eqnarray*}$ ...

Denk mal genau nach: Das Produkt rechts könnte man auch umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)\left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ ,

unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$ insgesamt dann also die Behauptung zu

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) = (-4)^{\frac{m-1}{2}} \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) \end{eqnarray*}$ hat zwar unendlich viele Nullstellen, aber die zugehörigen Werte $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ dieser Nullstellen nehmen nur $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte an...

09.01.2013, 14:26

Pfannchen

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Danke HAL 9000! Ich habe mir über deine Antwort lange den Kopf zerbrochen und komme leider nicht weiter.... traurig

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

das Produkt $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ ? Weshalb? Könntest du das bitte genauer ausführen...

ok, dann habe ich da ein Polynom (bzw bis auf den Faktor vorne das gleiche Polynom) das die gleichen NS hat, wie das auf das ich raus will.

Zitat:

Original von HAL 9000
unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$ insgesamt dann also die Behauptung zu

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) = (-4)^{\frac{m-1}{2}} \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

???
Wie kommt man denn da drauf?
Und was sagt mir das; hat das immer noch was mit den Nullstellen zu tun (bin ich damit nicht oben schon fertig?) oder ist das jetzt schon das komplette Ende des Beweises (aber das ist ja nicht genau die rechte Seite der Gleichung...)?

Tut mir Leid, ich peile gerade absolut nichts...Tausend Dank für weitere Hiilfe!!!

09.01.2013, 14:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pfannchen

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Produkt rechts könnte man auch umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)\left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$

das Produkt $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ ? Weshalb?

Unsinn! Natürlich meine ich

$\begin{eqnarray*} \left(\sin^2(x)-\sin^2\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) = \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)\left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$

und über $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,\frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ multipliziert dann

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin^2(x)-\sin^2\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) = \prod\limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)\left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Gemeinsam mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \left( \sin(x)-\sin(0) \right) \end{eqnarray*}$ als Faktor für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ sowie wegen $\begin{eqnarray*} \left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) = \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi (-j)}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) = (-4)^{\frac{m-1}{2}} \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

09.01.2013, 15:36

Pfannchen

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Achso, du warst bei der zu beweisenden Gleichung...Diese Umformungen sind so weit klar!
Aber hier bin ich noch nicht ganz durchgestigen:

Zitat:

Original von HAL 9000

Gemeinsam mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \left( \sin(x)-\sin(0) \right) \end{eqnarray*}$ als Faktor für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ sowie wegen $\begin{eqnarray*} \left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) = \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi (-j)}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) = (-4)^{\frac{m-1}{2}} \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

verstanden habe ich, dass

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)\left(\sin(x)+\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right)= \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

wo kommt aber der Faktor $\begin{eqnarray*} (-4)^{\frac{m-1}{2}} \end{eqnarray*}$ her und warum ist das ganze $\begin{eqnarray*} \sin(mx) \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2013, 09:53

HAL 9000

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Ich habe doch erstmal nichts weiter getan, als die Behauptung äquivalent umzuschreiben!!!

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Produkt rechts könnte man auch umschreiben [...] insgesamt dann also die Behauptung zu

$\begin{eqnarray*} \sin(mx) = (-4)^{\frac{m-1}{2}} \prod\limits_{j=-\frac{m-1}{2}}^{\frac{m-1}{2}} \left(\sin(x)-\sin\left( \frac{2\pi j}{m} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Zu diesem Zweck habe ich also die Behauptung oben nur mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ multipliziert und dann die rechte Seite umgeschrieben. Ist das wirkliich so schwer nachzuvollziehen, dass man da noch zig Fragen stellen muss und ansonsten nur auf der Stelle tritt? unglücklich

14.01.2013, 11:03

Pfannchen

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sorry, ich war einfach zu sehr in der NS-Berechnung und habe da nicht so genau nach links und rechts geschaut...

Also die Umformungen der Beh. ändern an den NS an sich ja nur(?) die Enschränkungen für j, ich habe also rechts die NS $\begin{eqnarray*} x= \frac{2\pi j}{m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{m-1}{2} \leq j\leq \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Davon gibt es $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ Stück.

Links habe ich die NS $\begin{eqnarray*} x= \frac{k\pi }{m} \end{eqnarray*}$ , wobei k nicht Vielfaches von m sein darf (da sonst sin(x)=0 ,also durch 0 geteilt wird).Dies gilt sicher für $\begin{eqnarray*} -(m-1)\leq k\leq m-1 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} k=2j \end{eqnarray*}$ setze (darf ich das einfach???) habe ich dasselbe wie oben. Da es $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ Stück sind, und ich schon bewiesen habe, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(mx)}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \frac{m-1}{2} \end{eqnarray*}$ ist, kann es nicht mehr geben.
Also habe ich links und rechts die gleichen NS.

Kann man so argumentieren? Ich finde es etwas seltsam, da ich doch links einige (existierende?)NS einfach vernachlässige....

14.01.2013, 12:19

Pfannchen

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RE: Beweis eines trigonometrischen Lemmas
Sorry, im dritten Schritt habe ich da ein Übersetzungsfehler:

Zitat:

Original von Pfannchen
den Faktor $\begin{eqnarray*} (-4)^{\frac{m-1}{2} } \end{eqnarray*}$ erhält man, indem man die Koeffizienten auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} e^{i(m-1)x} \end{eqnarray*}$ vergleicht.

Es muss heißen, "indem man auf beiden Seiten die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} e^{i(m-1)x} \end{eqnarray*}$ vergleicht." Sonst macht das ja keinen Sinn....

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