Integral - Fläche Berechnen --2-Korrektur

07.01.2013, 14:07

Tipso

Integral - Fläche Berechnen --2-Korrektur

Hallo,

Ein weiteres Beispiel an dessen Beendigung ich scheitere..

Aufgabenstellung:

Berechne den Inhalt von den Graphen f und g begrenzten Flächenstücks!

$\begin{eqnarray*} f: y = x^3 - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: y = x - 2 \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} n_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_2 = -1 \end{eqnarray*}$

bzw. Schnittpunkt beider Geraden.

Zu beachten ist bei der Flächenberechnung dass einmal die eine Gerade und einmal die andere von der anderen Gerade abzuziehen ist, je nachdem welche Gerade den oberen bzw. unteren Teil der zu berechneten Fläche bildet.

A_1

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! x^3-2 \, dx -\int_{-1}^0 \! x - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^4}{4} - 2x\right]_{-1}^{0} - \left[\frac{x^2}{2} - 2\right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$

A_2

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 \! x-2 \, dx -\int_{0}^1 \! x^3 - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{0}^{1} - \left[\frac{x^4}{4} - 2\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

A_1 + A_2 = A

A_1 = -3 - (-3) = -6

A_2 = -1 -(-4) = -4

A = - 10

Welche Vorzeichenregeln gelten hier?
Da ich die Fläche nehme, muss ich den Betrag von meinen Flächen nehmen oder von der gesamten Fläche?

Zitat:

Wo ist mein Fehler?

Lösungsbuch:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

lg

07.01.2013, 14:15

sneeper88

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es gibt 3 Schnittpunkte Augenzwinkern

damit müsstest du 4 Integrale bestimmen!

07.01.2013, 14:24

Tipso

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Achso, mich fehlt die 0 als Schnittstelle.

Ich habe doch 4 Integrale bestimmt, oder sehe ich da etwas falsch?

lg

07.01.2013, 14:32

sneeper88

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Nein, ich hab das falsch gesehen. Insofern du jetzt richtig rechnest sollte das Ergebnis stimmen. Schön wäre es, wenn du immer noch Betragsstirche um die Differenzen machst. Also A1 = |...|, A2 = |...|

07.01.2013, 14:42

Tipso

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Hi,

Alles klar.

Ich habe 4 Integrale.

Diese lauten:

A_1

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! x^3-2 \, dx -\int_{-1}^0 \! x - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^4}{4} - 2x\right]_{-1}^{0} - \left[\frac{x^2}{2x} - 2\right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$

A_2

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 \! x-2 \, dx -\int_{0}^1 \! x^3 - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{0}^{1} - \left[\frac{x^4}{4} - 2\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = | 2,25 | - | 2,5 | = 0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = | -1,5 | - | 1,75 | = 0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Fehler lag an der richtigen Berechnung und beim zweiten Integral habe ich beim integrieren ein x vergessen. Bei 2x.

$\begin{eqnarray*} x - 2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2x} \end{eqnarray*}$

Letzte Frage:

Zitat:

Warum muss ich den Betrag erst bei A_1 durchführen und nicht schon bei den Ergebnissen der einzelnen Integrale?

07.01.2013, 14:53

sneeper88

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ok, ich dachte, dass hättest du eh immer gemacht.

wenn du dich für die reine Fläche ohne Richtung interessierst dann solltest du rechnen :

$\begin{eqnarray*} A1=|\int_a^b \! |f(x)| \, dx -\int_a^b \! |g(x)| \, dx | \end{eqnarray*}$

das siehst du wenn du dir dein A2 anschaust. 1,5-1,75 ist nich 0,25 sondern -0,25, deswegen da auch nochmal einen Betrag

07.01.2013, 14:59

Tipso

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Du nimmst von allem den Betrag, auch von den Grenzen.

Das ist mir neu.

Danke für deine Hilfe. Freude

lg

Ps.
Ich bin arbeiten.
Falls noch etwas offen sein sollte werde ich ab 21 Uhr antworten.

07.01.2013, 15:02

sneeper88

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nein nicht von den grenzen. ein ganz großer betrag um alles und dann immer der Betrag um die Funktion.

Das kann man sich leicht an f(x)=x klar machen, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! |x| \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 15:08

Tipso

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Achso, jetzt habe ich es verstanden.

Ein großer Betrag um alles weil ich ja keine negativen Flächen haben kann bzw. darf.

lg

Freude

07.01.2013, 15:11

sneeper88

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ich hoffe ich konnte zur Aufklärung beitragen Big Laugh

07.01.2013, 22:42

Tipso

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Top. Danke.

lg Freude

14.01.2013, 00:57

Tipso

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Hi,

Von uns wird gefordert nur dann einen Betrag zu ziehen wenn es sich um eine negative Fläche handelt.

Wie unterscheide ich diese nun?
Wie bzw. woher weiß ich wann ich eine setzen muss und wann nicht?

lg

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