Dichtheit von von Q in R

07.01.2013, 15:00

knowhow_WS

Dichtheit von von Q in R

Hi! Ich habe eine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe:

Für alle x,y € Q mit x<y gibt es ein z € R\Q, so dass x<z<y. Wahr oder falsch?

Wahr weil für $\begin{eqnarray*} z:=x+ \frac{y-x}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist x<z<y und z kein€ Q.

Da sonst $\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{2} \sqrt{2} = z-x \end{eqnarray*}$ in Q und (z eingesetzt)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ wäre, und damit im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} nicht\in Q \end{eqnarray*}$ steht.

Ist hier der Hintegrund der Argumentation wirklich nur, dass wenn die Gleichung in Q gelten würde, und da sich daraus $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ergibt, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \in Q \end{eqnarray*}$ folgen würde (was eben falsch ist)?
Oder steckt hier ein Satz bezüglich der Dichtheit dahinter, den ich im Escher entweder nicht finde, oder nicht verstehe?

07.01.2013, 23:13

Che Netzer

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RE: Dichtheit von von Q in R

Zitat:

Original von knowhow_WS
Hi! Ich habe eine Verständnisfrage zu folgender Aufga
Da sonst $\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{2} \sqrt{2} = z-x \end{eqnarray*}$ in Q und (z eingesetzt)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ wäre, und damit im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} nicht\in Q \end{eqnarray*}$ steht.

Den Absatz halte ich für fragwürdig.
Ich hätte $\begin{eqnarray*} \sqrt2=2\frac{z-x}{y-x} \end{eqnarray*}$ als Widerspruch gewählt: Wenn $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann wäre die gesamte rechte Seite in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , da die rationalen Zahlen einen Körper bilden.

Mit der Dichtheit der rationalen Zahlen hat das nichts zu tun, die Aussage würde genauso gelten, wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ darin durch $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ersetzen würde.
Vielmehr ist die Dichtheit des Komplements von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wichtig.

08.01.2013, 12:42

knowhow_WS

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RE: Dichtheit von von Q in R
Danke, für die Alternative und den Hinweis bzgl. der Dichtheit.

Zitat:

Den Absatz halte ich für fragwürdig.

Was genau? Das ist eine Beispiellösung vom Prof selbst. Lehrer

09.01.2013, 21:27

Che Netzer

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RE: Dichtheit von von Q in R
Ich weiß nicht, was es nützen sollte, $\begin{eqnarray*} \sqrt2=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ zu folgern und was das für ein Widerspruch sein soll.
Entweder ist der Absatz nutzlos oder lückenhaft.

10.01.2013, 15:18

knowhow_WS

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Das war ja der Grund meiner Frage. Mich hat diese Argumentation auch verwirrt.
Ist aber wirklich die komplette Beispiellösung zu einer älteren Klausur von einem Prof.

10.01.2013, 15:22

knowhow_WS

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Die Argumentation ist ja nicht dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist, sondern, dass die Gleichung, wenn sie in Q gelten würde, und eben äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ € Q wäre. Da das ein Widerspruch ist, ist z auch nicht € Q.

Aber wie gesagt, mich verwirrt das ja auch.

10.01.2013, 15:26

Che Netzer

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Dann würde ich eher meine obige Umstellung für den Widerspruch empfehlen; oder man hebt das "in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ " besonders hervor. Im Endeffekt läuft das aber auf genau das hinaus, was ich geschrieben hatte.

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