Quetschlemma

13.02.2007, 20:34

MrMilk

Quetschlemma

Hallo,

ich habe eine kurze Frage, ob das Quetschlemma so richtig angewandt wird:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 < \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) < \big( 1 + \frac{1}{n}\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1^n < \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big)^n < \big( 1 + \frac{1}{n}\big)^n \end{eqnarray*}$

Ich weiß das der Grenzwert 1 ist, aber so kann ich es nur zwischen 1 und e quetschen.
Kann mir jemand kurz einen Tipp geben, wie ich dieses besser machen kann?

Viele Grüße
-- MrMilk

13.02.2007, 22:16

Abakus

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RE: Quetschlemma

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert ist doch offensichtlich 1:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) = 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 1 \end{eqnarray*}$

Ansonsten kannst du - wenn da noch ein n im Exponenten stehen sollte - für geeignete k und n betrachten:

$\begin{eqnarray*} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big)^n < \big( 1 + \frac{1}{n \cdot k}\big)^n \rightarrow e^{\frac 1 k } \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

13.02.2007, 22:45

MrMilk

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Hallo Abakus,

jep hast recht ist offensichtlich ;-)

Leider habe ich mich aber verschrieben und habe das n im Exponenten vergessen. Meinte also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big)^n \end{eqnarray*}$

Kannst du mir sagen, wie du da auf das k kommst?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.02.2007, 13:49

Abakus

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Zitat:

Original von MrMilk
Kannst du mir sagen, wie du da auf das k kommst?

Für $\begin{eqnarray*} n \ge k \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} n^2 \ge k \cdot n \end{eqnarray*}$ . Dabei soll das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fest (aber beliebig) gewählt sein.

Grüße Abakus smile

15.02.2007, 01:18

Goki

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der exakte Lösungsweg dieser Aufgabe würde mich sehr interessieren smile

du hast ja jetzt die Situation :

$\begin{eqnarray*} 1 < \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big)^n < \big( 1 + \frac{1}{n \cdot k}\big)^n \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} \big( 1 + \frac{1}{n \cdot k}\big)^n \rightarrow e^{\frac 1 k } \end{eqnarray*}$
gilt, kann man das Lemma nicht verwenden, denn der Limes auf beiden Seiten müsste 1 sein.

Und für festes $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^\frac 1 k > 1 \end{eqnarray*}$

oder habe ich da etwas übersehen

15.02.2007, 17:41

Abakus

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Du weißt:

$\begin{eqnarray*} 1 \le \lim_{n \rightarrow \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big)^n \le e^\frac 1 k \end{eqnarray*}$

Das gilt nun aber für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Nimm an der Grenzwert sei echt größer 1. Dann findest du ein spezielles $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , mit dem du "unter" den Grenzwert kommst (welches $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das tut, kannst du noch ausrechnen). Widerspruch !

Grüße Abakus smile

15.02.2007, 19:44

Goki

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Hallo

ich verstehe was du meinst, und natürlich auch dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Mir geht es nur darum, wie man das korrekt aufschreibt in Hinblick auf eine Klausur. Da bei mir ne Ana I Klausur vor der Haustür steht, frag ich lieber 2 mal nach smile

Für das Quetsch Lemma muss man ja 2 Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n), (b_n) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} a_n \longrightarrow 1, b_n \longrightarrow 1 \end{eqnarray*}$ finden, so dass gilt

$\begin{eqnarray*} (a_n) \le \lim_{n \to \infty} \big( 1 + \frac{1}{n^2}\big) \le (b_n) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nehm ich die konstante Folge 1, und für $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ wähle ich ..... was ?

$\begin{eqnarray*} b_k = e^\frac 1 k \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

wie gesagt, eine rein formale Frage verwirrt

15.02.2007, 20:17

Lazarus

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Bis auf dass du wieder $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ geschrieben hast stimmts so...

15.02.2007, 20:23

Goki

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ach .. copy & past .. weisse wie Big Laugh

danköö

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