Bernoulli/Binomialverteilung

07.01.2013, 17:33	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli/Binomialverteilung Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe bei den Hausaufgaben Es geht um folgende Aufgabe: In einer Urne sind n Kugeln, davon 20% weiße und 80% schwarze. 5 Kugeln werden (1) mit zurücklegen, (2) ohne zurücklegen gezogen. Betrachte das Ergebnis: Eine Kugel ist weiß. Für welche n kann man den Unterschied zwischen (1) und (2)vernachlässigen? Berechne dazu die wahrscheinlichkeit für n=10,100,1000 (n=20,200,2000). Meine Ideen: Für ohne Zurücklegen habe ich Folgende Rechnungen durchgeführt: 1) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}} =\frac{5}{9} =0,5 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 20 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 80 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 5 \end{pmatrix}} =\frac{5135}{12222} =0,42 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 200 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 800 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1000 \\ 5 \end{pmatrix}} =\frac{16938959800}{41251456251} =0,41 \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 20 \\ 5 \end{pmatrix}} =0,47 \end{eqnarray}$ 5) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 40 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 160 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 200 \\ 5 \end{pmatrix}} =0,41 \end{eqnarray}$ 6) $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 400 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1600 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2000 \\ 5 \end{pmatrix}} =0,41 \end{eqnarray}$ Ich hoffe ich habe damit die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen richtig berechnet, aber ich weiß nicht wie ich die mitZurücklegen berechnen soll. Ich weiß nur, dass es etwas mit der Binominalverteilung zu tun hat. Etwas Hilfe wäre nicht schlecht. Liebe Grüße Frosch95
07.01.2013, 17:51	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eine Idee für den zweiten Teil: wir hatten in der Schule die Formel $\begin{eqnarray} P(x=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} q^{n-k} \end{eqnarray}$ In diese formel muss ich dann die Zahlen wie im Ersten teil der Aufgabe einsetzen, also $\begin{eqnarray} P(x=5)=\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} 0,2^{5} 0,8^{10-5} \end{eqnarray}$ . Aber dann habe ich noch nicht dabei, dass genau eine der Kugeln weiß sein muss.
07.01.2013, 18:32	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache erst mal ohne Hilfe weiter, es reicht ja, wenn ich hinterher gesagt bekomme, ob das richtig ist. Wenn ich nur 5 mal ziehen darf und genau eine weiße Kugel dabei sein soll, dann ist die Wahrscheinlichkeit immer nur eine weiße zu treffen doch auch immer gleich, oder? Sie wäre dann doch 5(0,20,8^4)=0,4096. Damit habe ich aber immer noch nicht die Gesammtanzahl der Kugeln mit drinne
07.01.2013, 22:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Binomialverteilung noch nicht richtig verstanden. Bei Ziehen mit Zurücklegen ist die Anzahl der Kugeln egal! >>> wir hatten in der Schule die Formel $\begin{eqnarray} P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} q^{n-k} \end{eqnarray}$ <<< Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weissen Kugeln an, n =5 gilt immer Also p(X=1)=... Nebenbei: Unglücklich, dass für die Kugelanzahl in den Urnen auch n gewählt wurde.
09.01.2013, 12:44	frosch95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe, das Ergebnis hatte ich dann auch irgendwann. Es ist aber gut zu wissen, dass die Anzahl der Kugeln egal ist. Das war mir tatsächlich nicht bewusst.

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