Matrizen

07.01.2013, 18:05

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizen

Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand den Unterschied zwischen Linearkombination und Konvexkombinationen erklären?

Meine Ideen:
Ich hatte heute meine erste Wirtschaftsmathe-Vorlesung und bin leider etwas verwirrt..

bei der Linearkombination hatten wir als Beispiel 3x1 - 5x2 + 1x3.. und das 3, -5 und 1 dann eine Kombination sind glaube ich.
Und zu Konvex hatten wir

lamda * A (1-lamda) * A'
lamda element [0,1]
lamda + 1 - lamda = 1

Und da bin ich iwie total verwirrt, was das ganze soll sozusagen?

Sehr dankbar über Hilfe

LG
ElMatoo

07.01.2013, 18:34

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Linearkombination $\begin{eqnarray*} x=3x_1-5x_2+1x_3 \end{eqnarray*}$ ist ein (Summen-)Vektor.
Eine Konvexkombination $\begin{eqnarray*} \{ax_1+bx_2+cx_3:a+b+c=1,a,b,c\ge 0\} \end{eqnarray*}$ ist z.B. im "Anschauungsraum" die Dreiecksfläche zwischen den Endpunkten der "Ortsvektoren" $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 19:09

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das noch mal mit Google gesucht aber das hilft mir auch nicht weiter. Sorry dass ich noch mal nachfrage, aber iwie versteh ich die Konvexkombination noch nciht... unglücklich

unglücklich

Also ich hab bei der Konvexkombination ein Dreieck, dessen Punkte meine drei Vektoren sind?
Aber wieso ein Dreieck? Was rechne ich damit, wie hilft mir das weiter?

und das da hab ich auch nicht verstanden, was wir aufgeschrieben haben:

lamda * A (1-lamda) * A'
lamda element [0,1]
lamda + 1 - lamda = 1

Aber auf jeden Fall dicken Dank für die Antwort. Das hilft schon mal weiter, wenn man weiß, dess es ein Dreieck darstellt. smile

smile

LG
ElMatoo

07.01.2013, 19:18

Terry Lyndon

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge die Elvis aufgeschrieben hat, ist genau die Konvexe Hülle der drei Punkte x1, x2, x3.

Google mal was die Konvexe Hülle ist.
Elvis hat es für diesen Fall eigentlich schon geschrieben: Im IR^2 bspw. die Dreiecksfläche.

edit: hast du irgendwas editiert, oder habe ich da eben etwas überlesen?

Diese Bedingung mit dem Lambda verstehe ich so auf die Schnelle auch nicht ^^, aber das ist wohl die Bedingung die an eine Konvexe Menge gestellt wird, damit sie sich konvex nennen darf, und zwar das zu je 2 Punkten das Gesamte Geradensegment innerhalb dieser Menge liegt.

07.01.2013, 19:29

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrizen
Ok, also die Konvexkombination schließt eine Dreiecksfläche ein.

Ich hab folgende Aufgabe zu der Konvex.

Vektor a = (1;2) , b= (4; 8) und c=(3;2)

Aufgaben dazu:

1.) Linearkombination von a und b bilden
2.) Konvexkombination von a und c sowie a und b bilden.

Meine Ideen:

1.) Addiert man a und b dann einfach also (5;10)? Linearkombination = einfach addieren? geschockt

geschockt

2.) da bin ich leider noch ratlos..

07.01.2013, 19:38

Terry Lyndon

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das die wörtliche Aufgabenstellung?

Frage mich gerade was das mit der Linearkombination soll verwirrt

verwirrt

Die Vektoren a und b sind zudem noch linear abhängig.

Und zur Konvexkombination, vllt sollst du einfach die Konvexe Hülle der Punktepaare aufschreiben.

Kommt mir etwas langweilig vor?!

Anzeige

07.01.2013, 19:42

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibs mal original auf:
1.) Bilden Sie eine Linearkombination von a und b.
2.) Wo liegen die Konvexkombinationen von a und c sowie von a und b?

Sie hat gesagt, sie fängt einfach an... aber ich kanns leider noch nicht alleine Big Laugh

Big Laugh

07.01.2013, 19:47

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben seien die Vektoren a = (1;2) , b= (4; 8) und c=(3;2).

Leider weiß ich nicht genau, wo ich ansetzen soll.
Also zu 1.) hatte ich ja eine Idee (einfach addieren) aber zum 2. bin ich ratlos.

Wie schreibe ich denn die Konvexe Hülle der Punktepaare auf?

07.01.2013, 20:00

Terry Lyndon

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

EINE Linearkombination von a und b wäre tatsächlich a + b, aber auch 5 a + 5b und so weiter.
DIE Linearkombination wird aber eigentlich als die Gesamtheit aller Linearkombinationen aufgefasst, dh. als die Menge:

{a', b' in IR: a'*a + b'*b; a, b in IR^2}

Für die Konvexe Hülle der Punkte musst du a und b, bzw. a und c jeweils in die Defnition einsetzen, aber so wie ich die Aufgabenstellung auffasse bin ich mir nicht mal sicher ob das verlangt ist.

07.01.2013, 20:12

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Teil 1 habe ich verstanden. Was ich noch nicht verstehe ist, wie ich das in die Formel einsetze und dann löse... du meinst jetzt sicherlich die, die du geschrieben hattest?

Aber wo wird das dann eingesetzt und wie wird weitergemacht? Was soll denn ,, : " zwischen ax1 + ... und a + b ...?

Soll ich jetzt einfach a b und a und c addieren für 2.) oder wie? verwirrt

verwirrt

zur Aufgabenstellung: so steht es auf meinem Aufgabenzettel.. ich denke wenn wir das so machen ist das okay smile

smile

07.01.2013, 21:04

Terry Lyndon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrizen

Zitat:

Original von ElMatoo
lamda * A (1-lamda) * A'
lamda element [0,1]
lamda + 1 - lamda = 1

Ich vermute da ist irgendetwas schiefgelaufen, eine richtige Definition wäre:

lambda*A + (1-lambda)A'
lambda in [0,1]
lambda + (1-lambda) = 1

Schreibe zum Vergleich mal:

Lambda = a, A = x1, (1-lambda) = b, A' = x2

also

a x1 + b x2, a, b >= 0, a + b = 1

und vergleiche das ganze mal mit der Definition von Elvis. Das stimmt überein, nur das kein dritter Punkt betrachtet wird, vielleicht wurde es dadurch verständnlicher!?

Aber nun zurück zu deiner Notation.

In die obige korrigierte Definition setzt du dann deinen Vektor ein und packst das Ganze in Klammern, sodass es eine Menge ist, dh.:

{lambda in [0,1]: lambda a + (1-lambda) b in IR^2}

für a und b eben noch deine Koordinaten und das ganze dann noch mit dem anderen Paar.

09.01.2013, 18:19

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt für mich noch ein paar Fragen:

1.) {lambda in [0,1]: lambda a + (1-lambda) b in IR^2}

Dort setze ich jetzt ja einfach nur meine Vektoren a und b bzw. c ein. Mich verwirrt diese Schreibweise, ich habe so etwas in meiner Mathelaufbahn noch nicht gesehen. Bei der Linearkombination wurde es ja auch ,,ganz einfach" ausgedrückt: 5a +5b z.B..
Könnt ihr mir vielleicht diese Schreibweise erklären?

2.) Was bedeutet IR^2?

3.) Die Aufgabe war ja wörtlich:
Gegeben seien die Vektoren a = (1;2) , b= (4; 8) und c=(3;2).
1.) Bilden Sie eine Linearkombination von a und b.
2.) Wo liegen die Konvexkombinationen von a und c sowie von a und b?

Was hat dieses Lambda in der Aufgabe zu suchen? Und wofür steht es?

Ihr seht, ich bin leider noch ein wenig im Tal der Ahnungslosen. Bin für eine ausführliche Erklärung wirklich sehr sehr sehr dankbar. Wäre super wenn sich einer die Mühe gibt mir weiterzuhelfen.

Grüße
ElMatoo

09.01.2013, 18:40

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ist der reelle Vektoraum der Dimension 2 über dem Körper der reellen Zahlen. $\begin{eqnarray*} \lambda \in [0,1] \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine relle Zahl zwischen 0 und 1.

Eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a=(1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=(4,8) \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor $\begin{eqnarray*} s=\alpha a+\beta b, \alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , z.B. für $\begin{eqnarray*} \alpha= \pi , \beta=-\sqrt 2 : s=\pi a-\sqrt 2 b \end{eqnarray*}$

Die Konvexkombination $\begin{eqnarray*} conv(a,b) =\{\lambda a + (1-\lambda)b:\lambda \in [0,1]\} \end{eqnarray*}$ ist die "Strecke" zwischen a und b.
(Tipp: Mach dir eine Skizze, zeichne die Vektoren a und b und für ein paar verschiedene $\begin{eqnarray*} \lambda \in [0,1] \end{eqnarray*}$ die Vektoren $\begin{eqnarray*} \lambda a + (1-\lambda)b \end{eqnarray*}$ )

09.01.2013, 19:02

x=123456789

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frag mal ganz frei heraus:

$\begin{eqnarray*} s=\alpha a+\beta b, \alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Was haben die Kommas zu bedeuten? und IR heißt doch ,,Reelle Zahl" und dieses e ,,Element von.." oder so?

09.01.2013, 19:05

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

"," heißt "und" . Und es geht um reelle Zahlen und um Element von Mengen, ja.

09.01.2013, 19:37

x=123456789

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

und was hat das ,, : " zu bedeuten?

09.01.2013, 19:49

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Mengenlehre schreibt man die Menge von Elementen x, für die eine Eigenschaft E(x) gilt $\begin{eqnarray*} \{x:E(x)\} \end{eqnarray*}$ .
R² sind die geordenten Paare (x,y) für die x und y reelle Zahlen sind.

09.01.2013, 19:52

ElMatoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben seien die Vektoren a = (1;2) , b= (4; 8) und c=(3;2).

Wie komme ich davon auf: $\begin{eqnarray*} conv(a,b) =\{\lambda a + (1-\lambda)b:\lambda \in [0,1]\} \end{eqnarray*}$ ?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »