Anwendung des Satz von Stokes

07.01.2013, 18:32	Bornstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Satz von Stokes Meine Frage: Gegeben sei das Kraftfeld $\begin{eqnarray} K = \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie den Betrag der Arbeit von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ längs dem Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Schnittkurve der Flächen $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x+y+z=1 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ich wollte den Satz von Stokes anwenden: $\begin{eqnarray} \int_S \! rot K \cdot \vec{n} \, do \end{eqnarray}$ Die Schnittfläche ist ja eine Ellipse, daher wollte ich die Parametriesierung wiefolgt vornehmen: $\begin{eqnarray} \gamma : (t) \rightarrow \begin{pmatrix} a\cos(t) \\ b\sin(t) \\ * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aber ich komme hier ncht weiter (ist das überhaupt der richtige Weg?) Ich weiss nicht, wie ich die Halbachsen a und b bestimmen soll und wie ich z parametrisieren kann? Vielen Dank für eure Hilfe!
08.01.2013, 10:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben sind eine Einheitskugel und eine Ebene, die senkrecht auf dem Vektor (1,1,1) steht und den Abstand $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ vom Nullpunkt hat. Diese Ebene schneidet von der Kugel eine runde Kappe ab, die das Integrationsgebiet darstellt. Zu berechnen ist das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \int \int_{\text{Kappe}} rot(\vec K) \cdot \vec n \,do \end{eqnarray}$ Eine kurze Rechnung zeigt, dass der Integrand lautet $\begin{eqnarray} rot(\vec K)=-(1,1,1) \end{eqnarray}$ . Dieser konstante Vektor hat den Betrag $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ und liegt senkrecht zur Schnittebene. Es ist also sinnvoll, ein neues Koordinantensystem einzuführen, dessen z-Achse in Richtung (1,1,1) zeigt. In diesem System liegt also die Schnittebene parallel zur xy-Ebene und der Integrand zeigt in negative z-Richtung gemäß $\begin{eqnarray} rot(\vec K)=-\sqrt{3}\cdot(0,0,1) \end{eqnarray}$ . Da diese Flussdichte ein konstanter Vektor ist, ist der Fluss durch die runde Kappe genauso groß wie der Fluss durch den "Boden der Kappe", der einen ebenen Kreis darstellt. Der gesuchte Fluss ist also einfach das Produkt "Kreisfläche mal Betrag der Flussdichte". Nach dem Satz des Pythogoras hat der Boden der Kappe den Radius $\begin{eqnarray} r=\sqrt{\tfrac{2}{3}} \end{eqnarray}$ , so dass die Kreisfläche $\begin{eqnarray} A=r^2\pi=\tfrac{2}{3}\pi \end{eqnarray}$ ist. Die Flussdichte ist der Betrag $\begin{eqnarray} \|rot(\vec K)\|=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ . Der gesuchte Fluss ist also das Produkt beider Werte.
08.01.2013, 17:37	Bornstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Ehos Danke für deine Antwort. Du findest also den Abstand der Ebene mit der Hessesche Normalenform und danach mit dem Pythagoras den Radius der Bodenfläche der Kappe! Super,danke!

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