Integralrechnung

07.01.2013, 18:56

int2

Integralrechnung

Meine Frage:
Hallo ich habe eine frage zu einer Aufgabe:

Lösen sie das folgende mit Hilfe einer Integraltafel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dx}{(x^2 + 9)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich das nicht wie ich substituieren soll.

Meine Ideen:
gepostet

07.01.2013, 19:31

Equester

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Wie wärs mit x²+9=u verwirrt

07.01.2013, 19:42

int2

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{du}{2*\sqrt{u-9} *u^2} \, \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

07.01.2013, 19:50

Mulder

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Gar nicht, Equester hat sich wohl ein wenig verlesen und aus dem dx im Zähler (das da ja gar nicht hingehört, es taucht ja jetzt doppelt auf) ein x gemacht.

$\begin{eqnarray*} x = 3 \tan(u) \end{eqnarray*}$

sollte zum Ziel führen.

07.01.2013, 19:54

Equester

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Sry, ich war iwie gerade neben der Kappe und wollte dich ableiten lassen Ups

.
War schon verwundert, wo das Problem liegt^^.

Ich würde ein x=3tan(u) empfehlen smile

.

(Die bisherige Substitution ist zwar richtig, aber bringt letztlich nichts)

Edit:
@Mulder: Ja genau, danke Big Laugh

07.01.2013, 20:04

int2

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Gibt es einen Trick zu erkennen welche substi man nimmt?

07.01.2013, 20:06

Equester

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Nunja "Tricks" gibt es wohl kaum. Aber mit der Übung sieht man worauf es hinauslaufen könnte
und man erkennt hier, dass es unter anderem auf ein trigonometrisches Problem hinausläuft Augenzwinkern

07.01.2013, 21:14

int2

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Ist 3 tan u abgeleitet:

3/cos^2 x?

07.01.2013, 21:43

Equester

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Mit x=u ja^^.

07.01.2013, 22:13

int2

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{du*3}{cos^2 x *( 3*tan^2 u + 9)^2} \, \end{eqnarray*}$

Was soll ich jetzt machen?

Soll ich ne wurzel unter dem Nenner ziehen?

07.01.2013, 22:40

Equester

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Du solltest ein wenig mehr auf deine Variablen achten.
Einmal hast du x, einmal hast du u. Hier muss es natürlich u sein.

Beachte, dass auch die 3 quadriert wird! Der Vorfaktor des Tangens ist also 9.

Beachte nun, dass (9tan(u)+9)²=81/cos(x)^4 ist.
(Kannst du nachrechnen, indem du tan=sin/cos ersetzt Augenzwinkern

).

Probier da mal weiter mit Augenzwinkern

08.01.2013, 11:05

Int2

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{3*du}{cos^2 u*( 9* \frac{sin^4 u}{cos^4 u} +81} \, \end{eqnarray*}$

Wieso kürzt siche bei dir das sin weg . Das verstehe ich nicht.
Ich hoffe mein Ansatz ist richtig.

08.01.2013, 15:13

int2

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Hey leute hat jemand ne idee wie ich weiter vorgehen könnte?

08.01.2013, 15:18

chris95

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Wie lautet denn nun dein Integral.

Das Integral 2 Beitraege zuvor kann ja nicht gmeint sein, oder? Da fehlt ja eine Klammer etc...

Schreib mal deine Integral auf.

08.01.2013, 15:19

klarsoweit

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von int2
Lösen sie das folgende mit Hilfe einer Integraltafel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dx}{(x^2 + 9)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Also wenn man eine Integraltafel zur Hand hat, dann sollte man mit der Substitution x = 3*u auf ein Integral kommen, das in der Tafel vorkommt.

08.01.2013, 15:23

int2

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Ich hab mit der substitution 3 tan u gearbeitet.

Ist die falsch oder wie?

08.01.2013, 15:24

klarsoweit

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RE: Integralrechnung
Sofern du in der Tafel das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx \end{eqnarray*}$ findest, würde ich meinen Weg bevorzugen. smile

Mit der anderen Lösung habe ich mich jetzt nicht so intensiv beschäftigt.

08.01.2013, 15:25

chris95

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Wie gesagt, da fehlt z.B. eine Klammer. Das kann doch nicht dein ernst sein, dass du meinst, dass das korrekt waere.

Schreibe also das Integral mit deinem bestem Wissen auf. Achte genau darauf welche Terme quadiert werden und welche nicht. Mir ist z.B. auch schleierhaft wie du auf die 81 kommt.

08.01.2013, 15:32

Equester

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Eigentlich ist nicht mehr zu tun, als meinen Weg weiter zu verfolgen:
(9tan(u)+9)²=81/cos(u)^4

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{du*3}{cos^2 u *( 9*tan^2 u + 9)^2} \, \end{eqnarray*}$

... Wink

(Bin allerdings nun wieder ne Weile weg, aber obiges wurde im Laufe des Threads bereits erwähnt und
wollte ich nochmals in Erinnerung rufen)

08.01.2013, 15:32

int2

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Zitat:

Original von Equester
Du solltest ein wenig mehr auf deine Variablen achten.
Einmal hast du x, einmal hast du u. Hier muss es natürlich u sein.

Beachte, dass auch die 3 quadriert wird! Der Vorfaktor des Tangens ist also 9.

Beachte nun, dass (9tan(u)+9)²=81/cos(x)^4 ist.
(Kannst du nachrechnen, indem du tan=sin/cos ersetzt Augenzwinkern

).

Probier da mal weiter mit Augenzwinkern

Siehe beitrag von equester.

Was ist jetzt falsch?

08.01.2013, 15:38

chris95

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Wie gesagt, hast du leider noch nicht geschrieben wie dein Integrand nun aussieht.

Wenn du das hinschreibst, helfe ich dir gerne weiter. Der Integrand, wie ihn Equester geschrieben hat, ist noch falsch, da die 3 nicht quadriert wurde.

08.01.2013, 15:44

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, warum da so groß rumgerechnet wird. Da darf man eine Integraltafel verwenden und keiner will es tun. geschockt

08.01.2013, 15:48

chris95

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@ klarsoweit: Falls er eine Integraltafel verwenden duerfte, haette er es bestimmt schon getan. Es scheint doch so, als ob er es ohne loesen will.

@int2:
Ich geb dir noch einen Tipp:

$\begin{eqnarray*} \tan^2 u+1 = \frac{\sin^2 u }{\cos^2 u } +1= \frac{\sin^2 u }{\cos^2 u } + \frac{\cos^2 u }{\cos^2 u} = \frac{\sin^2 u + \cos^2 u }{\cos^2 u} = \frac{1}{\cos^2 u} \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 15:59

int2

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Nein die AUfgabe soll schon mit einer Integraltafel gelöst werden .

Aber was soll ich benutzen?

08.01.2013, 16:01

chris95

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von klarsoweit
Sofern du in der Tafel das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx \end{eqnarray*}$ findest, würde ich meinen Weg bevorzugen. smile

08.01.2013, 16:06

int2

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Ich hab jetzt deinen Weg genommen.

Wie gehe ich weiter vor?

08.01.2013, 16:08

chris95

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Denk an:

$\begin{eqnarray*} (9u^2 + 9)^2 = ( 9\cdot (u^2 + 1) )^2 = 81 \cdot (u^2+1 ) ^2 \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 16:13

int2

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Ich weiss nicht ob ich richtig grechnet hab aber ich poste es mal:

Soweit richtig?

08.01.2013, 16:16

chris95

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Stimmt soweit. Nun kannst du die 3 auch noch vors Integral ziehen und kuerzen. Anschliessend dann eben in die Integraltabelle gucken.

08.01.2013, 16:26

int2

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Ah ja cool danke .

Äh weisst du zufällig was als Integral rauskommt , weil ich habe grade die integraltafel nicht zur Hand.

08.01.2013, 16:30

chris95

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Hier: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%201%2F%281%2Bx^2%29^2

Oder Hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_int...ional_functions

08.01.2013, 16:36

int2

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Ah danke vielleicht kannst du mir bei einer weiteren AUfgabe helfen die sollte ich auch mithilfe der Integraltafel lösen.

Aber genau bei solchen Aufgaben habe ich probleme weil ich die Substitution nicht sehe.

Hast du ne idee?

08.01.2013, 16:59

chris95

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Hier wuerde ich zunaechst mal versuchen, quadratisch zu ergaenzen.

08.01.2013, 17:34

int2

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Ich hab bisschen die quadratische ergänzung versucht aber jetzt stecke ich irgendwie in der ergäzung fest.

Muss vielleicht mir einen kleinen tipp noch geben.

08.01.2013, 23:23

int2

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KAnn jemand mir helfen meinen Ansatz zu verbessern?

09.01.2013, 08:40

klarsoweit

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Ich weiß nicht, warum die binomischen Formeln nicht nur Schülern, sondern auch Studenten, die ja über die allgemeine Hochschulreife verfügen, solche Probleme bereiten. Wenn es nach mir ginge, bräuchte man in der Abi-Klausur nur 5 Aufgaben mit binomischen Formeln stellen. Ich würde mich nicht wundern, wenn daran die Hälfte der Abiturienten scheitern. Augenzwinkern

Nun denn. Es ist $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3x + 1 = 2 \cdot (x + \frac 3 4)^2 - \frac 1 8 \end{eqnarray*}$

Damit bietet sich die Substitution $\begin{eqnarray*} u = 4 (x + \frac 3 4) \end{eqnarray*}$ an. smile

09.01.2013, 09:32

int2

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Kannst du mir bitte erklären wie du auf 3/4 und so ohne weiteres auf das -1/8 gekommen bist?

09.01.2013, 09:36

klarsoweit

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Rechne es aus, dann siehst du doch, daß es stimmt.

09.01.2013, 09:39

int2

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Gibt's da keine Formel wie man darauf kommen kann?

09.01.2013, 09:58

klarsoweit

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Das ist dann eigentlich ein Schulthema. Ein mögliches Vorgehen sieht so aus:

Man schreibt erstmal $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3x + 1 = 2 \cdot (x^2 + \frac 3 2 x + \frac 1 2) \end{eqnarray*}$ .

Dann pressen wir $\begin{eqnarray*} x^2 + \frac 3 2 x + \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} x^2 + 2bx + b^2 + Rest = (x + b)^2 + Rest \end{eqnarray*}$ .

Ein direkter optischer Vergleich ergibt, daß offensichtlich 2b = 3/2 bzw. b = 3/4 sein muß.

Das wieder einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray*} x^2 + \frac 3 2 x + \frac 1 2= x^2 + 2 \cdot \frac 3 4 x + \frac{9}{16} + Rest \end{eqnarray*}$

Der "Rest" ergibt sich aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 = \frac{9}{16} + Rest \end{eqnarray*}$ .

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