nullfolgen beweisen

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07.01.2013, 19:35	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
nullfolgen beweisen Hey wir müssen ein paar nullfolgen beweisen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{arctan(x) x}{ln(1+x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x) + sin(x)}{1 - cos(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} x(ln(x))^n, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} \frac{x^x -1}{x(1- ln(x))} \end{eqnarray}$ beim ersten haben wir raus: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{arctan(x) x}{ln(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2} = \frac{-1}{2} \lim_{x \to 0} x = \frac{-1}{2} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ aber bei dem rest haben wir nicht so wirklich ne ahnung... wie würde man da rangehen?? l'Hòspital würde ich jetzt mal spontan sagen, aber die ableitung sind ja nicht gerade so trivial...
07.01.2013, 19:46	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du denn auf $\begin{eqnarray} \lim\limits_{ x \rightarrow 0} \frac{-x}{2} \end{eqnarray}$ ? L'Hospital scheint mir hier schon anwendbar, sogar mehrmals. Die Ableitungen sind nicht sooo kompliziert.
07.01.2013, 19:54	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab erlich gesagt keine ahnung... hat ein freund gemacht^^
07.01.2013, 19:56	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Was Dein Freund da verzapft hat, scheint mir Unsinn. Im Übrigen ist der Grenzwert der ersten Folge auch nicht 0. Versuch's mal mit L'H!
07.01.2013, 20:16	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab ja so meine schwierigkeiten mit dem ableiten -.- $\begin{eqnarray} \left( \frac{arctan(x) x}{ln(1+x^2)} \right) ' =^{quotientenregel} \frac{(\frac{d}{dx} arctan(x) x) ln(1+x^2) - (arctan(x) x) * (\frac{d}{dx}ln(1+x^2) }{(ln(1+x^2))^2} \end{eqnarray}$ dann mit produktregel und kettenregel: $\begin{eqnarray} \frac{(\frac{d}{dx}(x) * arctan(x) + x* \frac{d}{dx} (arctan(x))) * ln(1+x^2) - \frac{1}{x^2 +1} * \frac{d}{dx}(x^2 +1)x }{(ln(1+x^2))^2} = \frac{(1 arctan(x) + \frac{1}{x^2 +1} x) ln(x^2 + 1) - \frac{\frac{d}{dx} (x^2) * x}{x^2 + 1} }{(ln(1+x^2))^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(arctan (x) + \frac{x}{x^2 + 1}) * ln( x^2 + 1) - \frac{2x x}{x^2 + 1} }{(ln(1+x^2))^2} = \frac{(arctan (x) + \frac{x}{x^2 + 1}) ln( x^2 + 1) - \frac{2x^2}{x^2 + 1} }{(ln(1+x^2))^2} \end{eqnarray*}$ kann das sein???
07.01.2013, 20:18	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Guck Dir nochmal genau an, was L'H besagt!
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07.01.2013, 20:23	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist doch so, dass wenn wir x gegen 0 laufen lassen, da stehen haben $\begin{eqnarray} \frac{arctan(0) 0}{ln(1 + 0^2)} \end{eqnarray*}$ ln(1) = 0 also haben wir hier doch den typ "0/0" nu müssen wir doch die ableitung von der reihe bilden und wenn es da den grenzwert gibt, dann ist der abgelittene grenzwert gleich dem unabgelittenem...
07.01.2013, 20:27	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aber L'H besagt, dass dann $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{arctan (x) x}{ ln(1+x^2)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{d}{dx} arctan (x) x}{ \frac{d}{dx} ln(1+x^2)} \end{eqnarray}$ .
07.01.2013, 20:34	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ok... also $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (arctan(x) x) = acrtan(x) + \frac{x}{x^2 + 1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (ln(1+ x^2)) = \frac{2x}{x^2 + 1} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{acrtan(x) + \frac{x}{x^2 + 1} }{\frac{2x}{x^2 + 1} } = \lim_{x \to 0} \frac{arctan(x) * (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)* 2x} \end{eqnarray*}$ da ist der nenner doch auch wieder null... nochmal ableiten??
07.01.2013, 20:36	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
07.01.2013, 20:42	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ \frac{d}{dx} arctan(x) (x^2 + 1)}{ \frac{d}{dx}(x^2 + 1)* 2x} = \frac{2x * arctan(x) + 1}{2(x^2+1)+4x^2} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{2x * arctan(x) + 1}{2(x^2+1)+4x^2} = \frac{20 arctan(0) + 1}{2(0^2+1)+40^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ das ist der grenzwert??? boah ey... danke
07.01.2013, 20:56	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung, die letzte Umformung in Deinem vorletzten Post stimmt nicht.
07.01.2013, 21:11	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{acrtan(x)+\frac{x}{x^2+1} }{\frac{2x}{x^2+1}}= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{arctan(x)(x^2 + 1) + x}{x^2 + 1} }{\frac{2x}{x^2 + 1} } = \lim_{x \to 0} \frac{(arctan(x)(x^2 + 1) + x) (x^2 + 1)}{(x^2 + 1) * 2x} \end{eqnarray*}$ ???
07.01.2013, 21:22	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{arctan (x) + \frac{x}{x^2+1} }{\frac{2x}{x^2+1}} \end{eqnarray}$ weiter. Ich sehe nicht, wie Du da auf die nächste Umformung kommst. Auf jeden Fall ist 1/2 nicht die richtige Lösung.
07.01.2013, 21:24	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab jetzt 1 raus... ich hab eigentlich nur den doppelbruch aufgelöst... das erste mal hab ich glaub ich vergessen zu erweitern...
07.01.2013, 21:25	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
1 ist richtig.
07.01.2013, 21:43	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
beim 2ten grenzwert hab ich -2 raus...
07.01.2013, 21:52	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)+sin(x)}{1-cos(x)} \end{eqnarray}$ wieder 0/0 also : $\begin{eqnarray} \frac{\frac{d}{dx} ln(1-x)+sin(x)}{\frac{d}{dx}1-cos(x)} = \frac{cos(x)- \frac{1}{1-x} }{sin(x)} = \frac{\frac{(cos(x)(1-x)) - x}{1-x}}{\frac{sin(x)}{1}} = \frac{(cos(x)(1-x))-x}{(1-x) sin(x)} \end{eqnarray}$ wieder typ 0/0 also: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{d}{dx}(cos(x)(1-x))-x}{\frac{d}{dx}(1-x) sin(x)} = \frac{-(1-x)sin(x)-cos(x)-1}{(1-x)cos(x)-sin(x)} \end{eqnarray}$ und es folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{-(1-x)sin(x)-cos(x)-1}{(1-x)cos(x)-sin(x)} = \frac{-(1-0)sin(0)-cos(0)-1}{(1-0)cos(0)-sin(0)} = \frac{-(1)0-1-1}{11-0}= -2 \end{eqnarray*}$
07.01.2013, 21:57	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, -2 ist nicht richtig. Ich glaube, Du hast Dich schon in der ersten Zeile vertan. Die Ableitungen hast Du noch richtig gebildet, aber bei den Umformungen ist was schief gegangen. Du kannst Dir die Umformungen auch einfach sparen und gleich wieder Ableitungen bilden. Damit umgehst Du viele Fehlerquellen.
07.01.2013, 22:06	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh stimmt hast recht... doofer schreibfehler... kommt -1 raus oder?? hab bei den doppelbrüchen aus der -1 einfach ein x gemacht...
07.01.2013, 22:07	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
07.01.2013, 22:12	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok bei den anderen beiden hab ich aber keine ahnung, wie man daran geht... ist ja nicht vom typ 0/0 ln(0) ist doch 1 //edit: Ups^^ 1^n ist immer 1 und 0 * 1 ist immer 0 also müsste doch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} x(ln(x))^n, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ 0 sein oder nicht??? aber ich schätze mal das ist nicht so einfach :P
07.01.2013, 22:45	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal den Term mit der e-Funktion umzuschreiben.
07.01.2013, 23:03	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm wenn x gegen 0 läuft, dann kommt da doch einfach e raus oder nicht??
07.01.2013, 23:10	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht genau, was Du meinst? Betrachte: $\begin{eqnarray} e^{x (\ln x)^n} = e^{((\ln x)^n)^x} =... \end{eqnarray}$ Versuche den Exponenten so lange umzuformen, bis Du L'H anwenden kannst.

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