Doppelbruch lösen

07.01.2013, 19:44

Angel92

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Doppelbruch lösen

Hallo Leute,

ich habe hier einen Doppelbruch und irgendwie komm ich nicht weiter. Das Ganze sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} $\frac{\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b2}} {\frac {a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}}$ \end{eqnarray*}$

Nach Erweitern mit Hauptnenner $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ hab ich

$\begin{eqnarray*} $\frac{\frac{(a+b)(a^2-b^2)}{(a-b)(a^2-b^2)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b2}} {\frac {(a+b)(a^2-b^2)}{(a-b)(a^2-b^2)} + \frac{(a-b)(a^2-b^2)}{(a+b)(a^2-b^2)}}$ \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun rauskürze, bleibt bei mir

$\begin{eqnarray*} $\frac{\frac{a+b}{a-b} - \frac{a+b}{a-b}} {\frac {a^2-b^2}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{a+b}}$ \end{eqnarray*}$

Ich glaub, ich hab einen falschen Ansatz gewählt, denn wenn ich jetzt subrahiere, bleibt im Zähler nix übrig ?!

07.01.2013, 19:46

Equester

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Richtig ist, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ um den Hauptnenner handelt.
Aber deswegen musst du alle Nenner auf diese Form bringen und nicht damit erweitern.
Das bring nicht sonderlich viel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das bei dir gekürzte passt deswegen auch gar nicht...

07.01.2013, 20:16

Angel92

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Okay, ich versuch es noch einmal. Auf Hauptnenner bringen:

$\begin{eqnarray*} $\frac{\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b2}} {\frac {(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}}$ \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt kürze, bleibt noch

$\begin{eqnarray*} $\frac{(a+b)(a+b)} {(a-b)(a-b)} = \frac {(a+b)^2}{(a-b)^2}$ \end{eqnarray*}$

??

07.01.2013, 20:26

Equester

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Da hast du wohl falsch gekürzt.
Richtig ist nun der erste Bruch. Dort hast du alles auf den gewünschten Hauptnenner gebracht.

Ich würde nun wie folgt vorgehen.
Den oberen Doppelbruch und den unteren Doppelbruch je auf einen Bruchstrich schreiben und die
jeweiligen Zähler vereinfachen.
Dann den Kehrbruch nehmen und wiederum kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Hast du das so gemacht? Dann schreib mal auf, was du hast, nachdem du die jeweiligen Zähler
zusammengefasst hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.01.2013, 20:30

original

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Zitat:

Original von Angel92

$\begin{eqnarray*} $\frac{\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b2}} {\frac {(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}}$ \end{eqnarray*}$
.....................................................das ist jetzt richtig

Wenn ich jetzt kürze, bleibt noch

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)(a+b)} {(a-b)(a-b)} \end{eqnarray*}$
........................... aber das ist leider ganz falsch
??

smile

zum Kehrbruch?-Vorschlag von Equester eine kleine Variante:

erweitere den noch richtigen Doppelbruch nun erst mit (a^2-b^2)
(und beachte das Minuszeichen.. dh setze dort eine Klammer)
..dann hast du gleich einen einfachen Bruch
usw

.

07.01.2013, 20:44

Angel92

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Ich verstehe den Sinn dahinter nicht. Ihr kennt wahrscheinlich die Lösung, deswegen wisst ihr warum. Weshalb sollte ich den Doppelbruch zuerst noch mit $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ erweitern? Darauf würde ich von selbst nie kommen. Außerdem sieht der Bruch damit ziemlich kompliziert aus. Komm ich nicht auch mit Kürzen auf das richtige Ergebnis? Also, wenn ich richtig kürze Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.01.2013, 20:48

Equester

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Ich persönlich bin kein Freund von Erweitern wie von original vorgeschlagen,
das hängt aber von einem jeden ab, wie er lieber arbeitet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Für handbarer halte ich (persönlich) die Version mit dem Kehrbruch.
Da braucht man das Ergebnis nicht zu kennen, sondern löst dadurch nach Schema F
den Doppelbruch auf und erhält "sofort" die Möglichkeit die beiden (alten) Nenner zu kürzen.

07.01.2013, 20:54

original

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Zitat:

Original von Angel92
mit $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ erweitern?

Außerdem sieht der Bruch damit ziemlich kompliziert aus.

gar nicht kompliziert .. denn erweitern heisst :
im Zähler des Doppelbruchs und im Nenner des Doppelbruchs
mit $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ multiplizieren..

und da die beiden Brüche die oben stehen (ebenso wie die beiden, die unten stehen)
jeweils im Nenner den Term $\begin{eqnarray*} $a^2-b^2$ \end{eqnarray*}$ stehen haben
bleibt nach dem Multiplizieren einfach dies stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{(a+b)^2+(a-b)^2} \end{eqnarray*}$

ok?
und wie machst du nun weiter?
->...

07.01.2013, 21:23

Angel92

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@original:

Das sieht jetzt schön einfach aus und es ist auch gar nicht böse gemeint, aber ich wäre von allein nicht auf die Idee gekommen, nachdem ich alles auf einen HN gebracht habe, nochmals zu erweitern. Deswegen muss ich das so machen, dass es für mich Sinn ergibt und ich auch in der Klausur allein auf die Lösung komme. Also verfolge ich eher den Ansatz von Equester, da es für mich einfach logischer ist.

Also, wenn ich die Zähler auf einen Bruchstrich bringe komm ich auf

$\begin{eqnarray*} $\frac {(a+b)(a+b) - a^2+b^2}{(a-b)(a+b)-a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$ vom oberen Bruch und auf

$\begin{eqnarray*} $\frac{(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)+(a+b)(a-b)}$ \end{eqnarray*}$ beim unteren Bruch.

Ich sag es gleich. Ich bin im Zusammenfassen eine völlige Niete. Deswegen komm ich meist auch nicht weiter...

Beim oberen Bruch würde ich im Zähler auf $\begin{eqnarray*} $(a+b)^2-a^2+b^2$ \end{eqnarray*}$ kommen. Man kann bestimmt noch weiter machen. Also $\begin{eqnarray*} $a^2+2ab+b^2 -a^2 + b^2$ \end{eqnarray*}$ Aber wollt erstmal checken lassen, ob das bis hierhin überhaupt richtig ist.

07.01.2013, 21:33

Equester

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Das passt leider nicht ganz.

1. Solltest du dich nochmals damit auseinanderfassen, wie man Brüche addiert.
Dabei lautet nämlich die Regel, dass man nur addieren kann, wenn die Nenner gleich sind.
Addiert wird dann, in dem man den gemeinsamen Nenner nimmt und darauf die Zähler addiert.
Das solltest du dir nochmals anschaun.

2. Hatte dich original schon auf den Solperstein mit dem negativen Zeichen hingewiesen und du
bist dennoch drüber gestolpert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich zeig dir mal den Zähler des Doppelbruchs:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)(a+b)-\color{red}(\color{black}a²+b²\color{red})\color{black}}{a²-b²} \end{eqnarray*}$

Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fasse den Zähler zusammen und kümmere dich um deinen Doppelbruchnenner.

07.01.2013, 22:14

Angel92

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Okay, ist dann erstmal meine letzte Antwort für heute. Da kommt nix konstruktives mehr rum bei mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich $\begin{eqnarray*} $(a+b)(a+b)$ \end{eqnarray*}$ miteinander multipliziere, komm ich auf

$\begin{eqnarray*} $a\cdot (a+b) + b \cdot(a+b) = a^2 +a\cdot b + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$ \end{eqnarray*}$ oder halt zusammengefasst als 1.Binomische Formel

$\begin{eqnarray*} $(a+b)^2 - (a^2+b^2)$ \end{eqnarray*}$ also im Zähler des oberen Bruchs.

Beim Doppelbruchnenner dann so

$\begin{eqnarray*} $\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac {(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$

07.01.2013, 22:21

Equester

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Ja, das ist nun richtig Freude

Freude

.

Lass den ersten Binom ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du da doch schön a²+b² davon abziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Auch der Nenner ist richtig. Wende die jeweilige binomische Formel an und fasse zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 19:02

Angel92

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So, da bin ich wieder... Wink

Wink

Also, wenn ich das erste Binom im Doppelbruchzähler ausgeschrieben lasse, komm ich auf

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2$ \end{eqnarray*}$ Mit Zusammenfassen ergibt sich ingesamt

$\begin{eqnarray*} $\frac{2ab}{a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$

Bleibt noch der Doppelbruchnenner

Nach Auflösen der Binome, steht dort

$\begin{eqnarray*} $\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2-b^2} =\frac{a^4 + b^4}{a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

08.01.2013, 19:09

Equester

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Da sind teilweise richtige Elemente drin, aber teilweise verwurstelst du auch einiges.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2$ \end{eqnarray*}$

So ist das falsch. Da fehlt die Klammer.
$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 + b^2)$ \end{eqnarray*}$
oder aber
$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab + b^2 - a^2 \color{red}-\color{black} b^2$ \end{eqnarray*}$

Ironischerweise ist dein Ergebnis richtig.

$\begin{eqnarray*} $\frac{2ab}{a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$

Den linken Teil hast du richtig, aber beim Zusammenfassen passt es nicht.
Was ist a+a?
Was also a²+a². Zumindest nicht a^4!

08.01.2013, 19:27

Angel92

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Zähler hab ich mir die Klammern gedacht, deswegen ist auch das Ergebnis richtig Big Laugh

Big Laugh

Ach, Potenzen. Hab das mit der Multiplikation verwechselt. $\begin{eqnarray*} $2a^2$ \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} $\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}$ \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 19:33

Equester

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Achso! Ja dann Big Laugh

Big Laugh

.

Yup, jetzt passt die Sache Freude

Freude

.

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2ab}{a^2-b^2}}{\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}} \end{eqnarray*}$

Den Kehrbruch angewandt erlaubt uns diese Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} $\frac{2ab(a²-b²)}{(2a^2 + 2b^2)(a^2-b^2)}$ \end{eqnarray*}$

Einverstanden? Jetzt kannst du den jeweils rechten Faktor munter kürzen,
sowie du dich auch um die 2 kümmern kannst (im Nenner ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

08.01.2013, 19:48

Angel92

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Einverstanden, denn das mit dem Kehrbruch ist sogar mir in den Sinn gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach wegkürzen und ausklammern, bleibt noch

$\begin{eqnarray*} $\frac{2ab}{2(a^2+b^2)}$ \end{eqnarray*}$

Sind wir jetzt am Ende angekommen oder geht da immer noch was ?

08.01.2013, 19:51

Equester

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Jawohlja, da gibts nochwas!
Du hast doch gerade die 2 im Nenner ausgeklammert.
Somit ist sie sowohl im Nenner als auch im Zähler ein Faktor.

-> Du kannst sie kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 19:56

Angel92

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Wie recht du hast! Mir fehlt einfach der Blick für sowas!

Also ist $\begin{eqnarray*} $\frac{ab}{a^2+b^2}$ \end{eqnarray*}$ das Endergebnis ?!

08.01.2013, 19:56

Equester

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Ja, damit würde ich mich zufrieden geben^^.

08.01.2013, 20:03

Angel92

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Ach, wie schön! Da kann ich nur hoffen, dass in der Klausur nicht so ein Doppelbruch (der seinen Namen echt verdient hat!) dran kommt, da ich sonst ne telepathische Leitung zu dir brauche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine doch sehr geduldige und dabei immer freundliche Hilfe Blumen

Blumen

Bis zum nächsten Mal (hoffentlich nicht ganz so bald) Wink

Wink

08.01.2013, 20:04

Equester

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Es freut mich, wenn ich dir helfen konnte.
Und wenn du das mit der Telepathie hinbekommst und mir beibringst, halte ich die Leitung auch immer frei Big Laugh

Big Laugh

.

Gerne,
Wink

Wink

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