Bestimmter Erwartungswert von stetiger Funktion

07.01.2013, 21:15	Sandra_90	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmter Erwartungswert von stetiger Funktion Meine Frage: Guten Abend miteinander und ein frohes neues Jahr nachträglich! Ich habe folgende Aufgabe bei der ich total hängen bleibe: Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen, beide Exponentiell verteilt mit parameter 1. Sei U eine Zufallsvariable die gleichmässig auf [0,1] verteilt ist. Zudem ist U unabhängig von X und Y. Zeige: für jede stetige Funktion f auf IR+ : E[f(X) \| X+Y] = E [f((X+Y)U) \| X+Y]. Meine Ideen: Leider hapert es hier bei mir total. ICh weiss die Dichtefunktion von allen 3 Zufallsvariablen: $\begin{eqnarray} f_{u} (u)= 1_{0\leq u\leq 1} , <br /> f_{x} (x)= e^{-x} 1_{x\geq 0} ,<br /> f_{y} (y)= e^{-y} 1_{y\geq 0} .<br /> \end{eqnarray}$ Leider komme ich wirklich nicht mehr weiter. Das Problem ist mit der Funktion in der bedingten Erwartung... Dies bereitet mir mühe. Warscheinlihc genügt ein ganz kleiner Ansatz. Ich hoffe fest den kann mir jemand geben! Herzlichen Dank und Liebe grüsse Sandra
09.01.2013, 15:43	Sandra_90	Auf diesen Beitrag antworten »
wollte nur nochmals die frage hervorbringen. hat niemand von euch matheprofis eine idee dazu? ich brauche nur einen ansatz, nicht die lösung! danke vielmals!!!
09.01.2013, 16:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt jetzt auch nichts besseres ein, als zu rechnen: Mit $\begin{eqnarray} g(t) := E[f(X) \bigm\| X+Y=t] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(t) := E[f((X+Y)U) \| X+Y=t] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g(t)=h(t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} P_{X+Y} \end{eqnarray}$ -fast alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Da $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ stetig verteilt und unabhängig sind, geht diese Berechnung über $\begin{eqnarray} g(t) = \frac{\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)f_X(x)f_Y(t-x) ~ \dd x}{\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(t-x) ~ \dd x} \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Funktion ist es einfacher, denn das ist offenbar aufgrund von Rechenregeln zur bedingten Erwartung gleich $\begin{eqnarray} h(t) = E[f(tU)] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(tu)f_U(u) ~ \dd u \end{eqnarray}$ (Bitte sorgfältig beachten, dass mit $\begin{eqnarray} f_X,f_Y,f_U \end{eqnarray}$ die Dichten von $\begin{eqnarray} X,Y,U \end{eqnarray}$ gemeint sind, im Kontrast zu deiner stetigen Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die nichts mit den Dichten gemein hat). Nun die aufgrund der vorgegebenen Verteilungen ja bekannten Dichten $\begin{eqnarray} f_X,f_Y,f_U \end{eqnarray}$ einsetzen, vereinfachen und dann kommt hoffentlich die gewünschte Gleichheit heraus.
09.01.2013, 17:18	Sandra_90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals!!! Das was du gemacht hast ist mir jetz klar! Und auch der rest stimmt! Nochmals vielen Dank und einen schönen Abend.

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