Erwartungswert

07.01.2013, 21:45	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Hallo ich sitze an folgender Aufgabe (die Musterlösung habe ich auch vorliegen): Man berechne die mittlere Augensumme beim zweifachen Würfelwurf, wobei der zweite Wurf nur dann gezählt wird, wenn im ersten Wurf eine "6" beobachtet wird. Man beschreibe die Würfe durch unabhängige Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_1 ,X_2 \end{eqnarray}$ und berechne $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1+X_2 \textbf{\textit{1}}_{\left\{ X_1=6\right\} }) \end{eqnarray}$ . Ideen: Wenn ich das richtig verstehe, soll nun der Erwartungswert berechnet werden. $\begin{eqnarray} \omega =\left\{ 1,...,6\right\}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1: \omega \rightarrow \left\{ 1,...,6\right\} , X_1 \left\{(w_1,w_2\right\}=w_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_2: \omega \rightarrow \left\{ 1,...,6\right\} , X_2 \left\{(w_1,w_2\right\}=w_2 \end{eqnarray}$ außerdem sind $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ unabhängig voneinander. So bis hierhin ist alles klar und das habe ich verstanden. Was ich nun machen muss ist mir schleierhaft ? Im weiteren Verlauf wird hier mit der Indikatorfunktion sowie dem Erwartungswert gearbeitet. Indikatorfunktion: $\begin{eqnarray} g: \left\{1,...,6\right\} \rightarrow \left\{0,1\right\} , g(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1, & x=6 \\<br /> 0, & sonst \end{array}\right. \end{eqnarray}$ * Nun werden die Erwartungswerte für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ multipliziert (wofür, was sagt mir das Ergebnis? ) $\begin{eqnarray} \mathbb E (X_2 \textbf{\textit{1}}_{\left\{ X_1=6\right\} })= \mathbb E (X_2) \cdot \mathbb E( \textbf{\textit{1}}_{\left\{ X_1=6\right\} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{12} \end{eqnarray}$ * Zuletzt wird der Erwartungswert berechnet, wenn der erste Würfel eine "6" zeigt. $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1 + \frac{7}{12}) =\frac{42}{12}+\frac{7}{12}=\frac{49}{12} \end{eqnarray}$ Ich hoffe jemand bringt ein wenig Geduld mit und kann mir bitte das Gerechnete verständlich erklären. Auch wenn die Aufgabe evtl. noch so einfach ist Gerade das was ich in ... gesetzt habe wird mir nicht ganz klar. Vielen Dank Edit: Ich sehe gerade, dass ich es im falschen Forum gepostet habe, kann das ein Admin bitte zur "Stochastik" verschieben?!
08.01.2013, 14:22	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
zählt der erste Wurf auch wenn keine 6 geworfen wurde oder wird dieses Ereignis dann nicht betrachtet. Wenn dem so wäre ist die Aufgabe ziemlich leicht zu lösen. Dann hättest du den Erwartungswert des ersten Wurfes (der ja nur zählt wenn er 6 ist) mit 6 plus den Ewert des 2. Wurfes. Wenn der erste Wurf nicht 6 ist aber trotzdem gezählt wird hast du 2 Ereignisse: 1. Summe ist gleich nur ein Wurf, wenn x<6 2. Summe sind beide Würfe, wenn x=6 Diesen Erwartungswert solltest du auch berechnen können über $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} p(x_{i} ) \end{eqnarray*}$

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