Partialbruchzerlegung

07.01.2013, 22:21

quark

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Guten Abend,
Das Integral von: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+\frac{3}{2}x-1 } \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{A}{x-0,5}+\frac{B}{x+2} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Wie kommt man auf den Nenner des Partialbruches?
Also, x-0,5 und x+2

Vielen Dank für eure Hilfe smile

smile

Meine Ideen:
Nullstellen: 0,5;-2

07.01.2013, 22:28

Equester

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Du hast dir die Antwort schon selbst gegeben Freude

Freude

. Das sind die Nennernullstellen.

07.01.2013, 22:30

Dopap

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RE: Partialbruchzerlegung
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+\frac{3}{2}x-1 } \, dx = \frac{A}{x-0,5}+\frac{B}{x+2} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Wie kommt man auf den Nenner des Partialbruches?
Also, x-0,5 und x+2

----------------------------

..... ja, weil $\begin{eqnarray*} x^{2}+\frac{3}{2}x-1 =(x- 0.5 )(x+2) \end{eqnarray*}$ gilt

07.01.2013, 22:31

quark

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Partialbruchzerlegung
Und woher weiss ich, dass ich x-0,5 und x+2 rechnen muss? verwirrt

verwirrt

07.01.2013, 22:40

quark

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RE: Partialbruchzerlegung
..ja, habe es gesehen, wenn ich (x-0.5)(x+2) ausmultipliziere, dann bekomme ich wieder den ursprünglichen Nenner. smile

smile

da kann man doch auch ausversehen Fehler machen oder?

07.01.2013, 22:42

Equester

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Nimm die pq-Formel. Damit kannst du die Nullstellen des Nenners errechnen.

Und natürlich...man kann überall Fehler machen :P.

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07.01.2013, 22:54

quark

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Partialbruchzerlegung
pq-Formel hab ich schon berechnet smile

smile

Naja, kann doch nicht so schwer werden wenn man die Grundkenntnisse um so einen Partialbruch zu bilden kennt. smile

smile

Ich hätte hier noch eine neue Aufgabe.

Also, das Integral von: $\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2} }{x(x-2)^2} dx \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich das gleiche wie vorher machen, also zuerst Nullstellen bestimmen: 0;2;-2 ->kann man ja auch ohne Rechnung gleich erkennen.

Und wie jetzt?

Ich bekomme sicherlich drei Partzialbrüche, wegen den drei NST.

Was muss ich jetzt machen um den Nenner zu bestimmen?

07.01.2013, 22:57

Equester

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Deine Nullstellen solltest du nochmals überprüfen.
Prinzipiell hast du recht, dass diese leicht abzulesen sind, aber hier hast falsch abgelesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
2 ist eine doppelte Nullstelle.

Bzgl dem Vorgehen kannst du doch mal hier reinschaun: [WS] Partialbruchzerlegung
Extra für dich habe ich da einst einen Thread geschrieben Big Laugh

Big Laugh

.

07.01.2013, 23:53

quark

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Partialbruchzerlegung
Boaah, danke für den Thread Wink

Wink

und noch extra für mich, klasse Freude

Freude

Ok, doppelte NST. Aber ich hab trotzdem drei Partialbrüche.

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} +\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich denke das könnte so stimmen, nachdem ich deinem Thread nachgesehen habe. smile

smile

Vielen Dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2013, 23:59

Equester

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Immer gerne doch Big Laugh

Big Laugh

.

Das ist der richtige Ansatz Freude

Freude

.

Edit: Bin mal im Bett. Wenn noch was offen ist; "morgen" dann oder wer anderes schaut vorbei Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 20:01

quark

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Partialbruchzerlegung
Ich muss nochmal nachfragen wegen der doppelten NST. smile

smile

Also ich hab ja das: $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} +\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

und nun multipliziere ich mal den ursprünglichen Nenner, also: $\begin{eqnarray*} *x\left(x-2\right)^2 \end{eqnarray*}$

ich bekomme: $\begin{eqnarray*} 1-x^{2}=A\left(x-2\right)^2 +B*x\left(x-2\right)+Cx \end{eqnarray*}$
dann setze ich die NST für x ein, also 0 und 2->ist doppelte NST

Wenn ich Null für alle drei Partialbrüche einsetze, habe ich keine Lösungen.
Für das einsetzen von 2 bekomme ich für B=-2 und für C=-2.

Wie bekomme ich A? Habe ich was Falsch gemacht? verwirrt

verwirrt

08.01.2013, 20:10

Equester

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Wie meinst du das mit einsetzen?
Wenn du es auf (die von dir richtig genannte) Form: $\begin{eqnarray*} 1-x^{2}=A\left(x-2\right)^2 +B*x\left(x-2\right)+Cx \end{eqnarray*}$
gebracht hast, empfehle ich den Koeffizientenvergleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 20:29

quark

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Partialbruchzerlegung
hmm verwirrt

verwirrt

Ich denke ich bringe zuerst $\begin{eqnarray*} 1-x^{2} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite der Gleichung, also ich meine dann $\begin{eqnarray*} -(1-x^{2} ) \end{eqnarray*}$
Ist das schon mal richtig?

08.01.2013, 20:30

Equester

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Nene, lass die linke Seite wie sie ist.

Löse rechts hingegen alle Klammern auf. Dann ordne, so dass du die Koeffizienten zu x², x und x^0 hast.
Du kannst auch nochmals in dem Thread nachschaun, den ich dir gepostet hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 21:08

quark

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Partialbruchzerlegung
stimmt das soweit? $\begin{eqnarray*} 1-x^2= A\left(x^{2}-4x+4 \right)+Bx^{2}-B2x+Cx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-x^2=Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-B2x+Cx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-x^2=Ax^2+Bx^2-4Ax-B2x+Cx+4A \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 21:15

Equester

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Genau das passt Freude

Freude

.

Schön auch so geschrieben:
$\begin{eqnarray*} 1-x^2=(A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{eqnarray*}$

Und jetzt der Koeffizientenvergleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 21:46

quark

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Partialbruchzerlegung
Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} x^{0}: 0=4A ; A=-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{1}: 2= \left(-4A-2B+C\right)=-4*(-4)-2*(-2)+C ; C=-18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}: 2=A+B ; 2=-4+B=>-2=B \end{eqnarray*}$

Hoffe so stimmts Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2013, 21:50

Equester

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Wo kommt denn die linke Seite her?
Die 0 und die 2er?

Du hast doch 1-x²
Also $\begin{eqnarray*} 1x^0+0x^1-1x^2 \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2013, 21:54

quark

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Partialbruchzerlegung
Ich dachte an die Nuullstellen.
Wieso den die Null?

08.01.2013, 21:58

Equester

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Nene, die Nullstellen sind schon verarbeitet. Mit unserem Ansatz.
Das brauchen wir jetzt nicht mehr.

Wir wollen doch aber, dass unserer Ansatz auf der rechten Seite der linken Seite entspricht.
Wir haben ja nun mit dem Hauptnenner multipliziert und müssen nun A, B und C so wählen,
damit die rechte Seite der linken entspricht.
Dabei nehmen wir den Koeffizientenvergleich zu Hilfe.
Weil nur alle Koeffizienten der rechten Seite (A,B und C) zu x² können Auswirkung auf den Koeffizienten von links haben (1). Die niederer Ordnung, haben darauf keinen Einfluss etc.

Klar?
(Die 0 kommt ja nur daher, da links bei 1-x² kein x dabei ist. Also ist der Summand "versteckt". 0*x)

08.01.2013, 22:06

quark

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Partialbruchzerlegung

Zitat:

Weil nur alle Koeffizienten der rechten Seite (A,B und C) zu x² können Auswirkung auf den Koeffizienten von links haben (1). Die niederer Ordnung, haben darauf keinen Einfluss etc.

Das verstehe ich nicht so richtig verwirrt

verwirrt

08.01.2013, 22:11

Equester

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Hast du

5x²+2=Ax²+B

Dann ist doch sofort klar, dass A=5 und B=2 ist, da B keinen Einfluss auf die 5 hat etc.

Für 5x²+2=(A+B)x²+B gilt eben nun ganz klar B=2. Da B nun aber auch auf die 5 wirken kann, gilt A=3.

Das verwenden wir jetzt auch bei unserer Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 22:30

quark

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Partialbruchzerlegung
Also die linke Seite doch so: $\begin{eqnarray*} x^{0}: 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{1}: 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}: -1 \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 22:37

Equester

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Genau so ist es.

Dann löse mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.01.2013, 23:00

quark

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Partialbruchzerlegung
Ich hab nun das: $\begin{eqnarray*} x^{0}:1 =4A weil 1-x^{2}=4A\left(4*1+(-5)\right)x^{2} \end{eqnarray*}$ A=4; B=-5

$\begin{eqnarray*} x^{1}:0=-6=C weil \left(-4*1-2*(-5)+C\right) \end{eqnarray*}$

soweit ok?

08.01.2013, 23:24

Equester

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Sry, das fällt mir recht schwer zu lesen.
Aber wenn du sagst 1=4A, dann kann wohl A nicht 4 sein. Denn 4*4=16!
Schau also nochmals nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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