Vollständige Induktion

08.01.2013, 00:19

christianh

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
Berechnen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
$\begin{eqnarray*} 1^{2} + 3^{2} + ...+ \left(2n- 1\right)^{2} = \frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right) }{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang: Für n= 1 ist $\begin{eqnarray*} 1^{2}= \frac{1\cdot 1\cdot 3}{3} = \frac{3}{3} \end{eqnarray*}$ , also stimmt die Summenformel für n= 1.
Induktionsvorraussetzung: Für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelte die Summenformel $\begin{eqnarray*} 1^{2} + 3^{2} + ...+ \left(2n- 1\right)^{2} = \frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right) }{3} \end{eqnarray*}$
Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass die Summendormel auch für $\begin{eqnarray*} n+ 1 \end{eqnarray*}$ gilt, sofern sie für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} 1^{2} + 3^{2} + ...+ \left(2n- 1\right)^{2}+ \left(2n+ 1\right)^{2} = \frac{\left(n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 2\right) }{3} \end{eqnarray*}$
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} 1^{2} + 3^{2} + ...+ \left(2n- 1\right)^{2}+ \left(2n+ 1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left(1^{2} + 3^{2} + ...+ \left(2n- 1\right)^{2}\right)+ \left(2n+ 1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right) }{3}+ \left(2n+ 1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right) }{3}+ \frac{3\cdot\left(2n+ 1\right)^{2}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right)+ 6n^{2}+ 3}{3} \end{eqnarray*}$

so und nun beginnt der Punkt wo ich nicht weiter komme. Wie schaffe ich es, dass der Bruch so $\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 2\right) }{3} \end{eqnarray*}$ aussieht?

Schonmal danke im Vorraus ;-)

08.01.2013, 01:57

Kasen75

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RE: Vollständige Induktion
Hallo,

der Übergang hat hier nicht ganz geklappt:

Zitat:

Original von christianh

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right) }{3}+ \frac{\textcolor{blue}{3\cdot\left(2n+ 1\right)^{2}}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\cdot \left(2n- 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right)+ \textcolor{red}{ 6n^{2}+ 3}}{3} \end{eqnarray*}$

Du solltest den blau eingefärbten Teil mal ausmultiplizieren.
Wenn dies dann alles stimmt, solltest du alle Klammern ausmultiplizieren und dann wieder alles neu zusammenfügen (ohne Klammern).

Der neu enstandene Term hat eine Nullstelle, die man sofort sieht. Mit dieser Nullstelle kannst du eine Polynomdivision durchführen und somit erhälst du ein quadratisches Polynom. Hier die beiden Nullstellen zu finden, ist dann nicht mehr schwer.

Zitat:

Original von christianh
so und nun beginnt der Punkt wo ich nicht weiter komme. Wie schaffe ich es, dass der Bruch so $\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 1\right)\cdot \left(2n+ 2\right) }{3} \end{eqnarray*}$ aussieht?

Ich habe hier auch eine andere Lösung. Wahrscheinlich hast du dich verschrieben.

Mit freundlichen Grüßen.

08.01.2013, 09:31

christianh

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ok stimmt das ist falsch muss also heißen $\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot\left(2n- 1\right)\cdot\left(2n+ 1\right)+ 12n^{2}+ 3}{3} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt vereinfache kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{4n^{3}+ 12n^{2}- n+ 3}{3} \end{eqnarray*}$ heraus

jetzt kann ich den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 2\right)}{3} \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

aber da kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{4n^{3}+ 10n^{2}+ 8n+ 2}{3} \end{eqnarray*}$ heraus.

jetzt ist die Frage: Was mach ich denn hier falsch?

08.01.2013, 09:54

klarsoweit

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Anscheinend hast du bei (2n + 1)² die binomische Formel mißachtet. Um größere Rechnereien zu vermeiden würde ich im Gegensatz zu Kasen75 folgenden Weg vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot (2n- 1) \cdot (2n+ 1)}{3} + \frac{3 \cdot (2n+ 1)^2}{3} = (2n+1) \cdot \frac{n \cdot (2n- 1) + 3 \cdot (2n+ 1)}{3} = ... \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 10:06

Kasen75

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Hallo,

bei mir ist $\begin{eqnarray*} (2n+1)^2=4n^2+4n+1 \end{eqnarray*}$ .

Wo sind die 4n bei dir geblieben?

Falls du den eingeschagenen Weg weiterverfolgst. Ansonsten macht klarsoweit weiter.

08.01.2013, 12:41

christianh

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ach ja binomische Formel... da hätte ich früher doch besser aufpassen sollen.

aber @klarsoweit wie komm du denn auf

Zitat:

Original von klarsoweit

????

Ich hab bei dieser Aufgabe absolut keinen Durchblick mehr^^

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08.01.2013, 13:02

klarsoweit

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Dann gaaanz langsam:

$\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot (2n- 1) \cdot (2n+ 1)}{3} + \frac{3 \cdot (2n+ 1)^2}{3} = (2n+1) \cdot \frac{n \cdot (2n- 1)}{3} + (2n+1) \cdot \frac{3 \cdot (2n+ 1)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (2n+1) \cdot \left( \frac{n \cdot (2n- 1)}{3} + \frac{3 \cdot (2n+ 1)}{3} \right)= (2n+1) \cdot \frac{n \cdot (2n- 1) + 3 \cdot (2n+ 1)}{3} = ... \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 13:15

christianh

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ach so das leuchtet mir ein
$\begin{eqnarray*} (2n+1) \cdot \frac{n \cdot (2n- 1) + 3 \cdot (2n+ 1)}{3} \end{eqnarray*}$

und wie rechne ich das jetzt aus? traurig

traurig

08.01.2013, 13:26

klarsoweit

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Jetzt die Klammern im Zähler des Bruchs ausmultiplizieren und zusammenfassen.

08.01.2013, 13:41

christianh

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also $\begin{eqnarray*} \left(2n+1\right)\cdot\frac{2n^{2}+5n+3}{3} \end{eqnarray*}$

und dann muss ich mir doch die $\begin{eqnarray*} \left(2n^{2}+1\right) \end{eqnarray*}$ wieder auf den Bruchstrich holen und ebenfalls ausmultiplizieren und zusammenfassen.
wenn ich das mache erhalte ich am Ende $\begin{eqnarray*} \frac{4n^{3}+ 12n^{2}+ 11n+ 3}{3} \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 13:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von christianh
und dann muss ich mir doch die $\begin{eqnarray*} \left(2n^{2}+1\right) \end{eqnarray*}$ wieder auf den Bruchstrich holen und ebenfalls ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Bloß nicht! Ist doch nur unnötige Arbeit. Du brauchst nur 2n² + 5n + 3 faktorisieren. dabei hilft auch ein Blick auf das, was bei der Rechnung rauskommen muß.

08.01.2013, 13:59

christianh

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hab meine Rechnung von heute Nacht nochmal überprüft und einen fehler entdeckt der Bruch muss nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 2\right)}{3} \end{eqnarray*}$ heißen

sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\left(n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 1\right)\cdot\left(2n+ 3\right)}{3} \end{eqnarray*}$

und das ergibt genau wie unser Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{4n^{3}+ 12n^{2}+ 11n+ 3}{3} \end{eqnarray*}$

womit der Induktionsschluss vollzogen wäre.

Danke nochmal

so ist das nunmal wenn man nicht 2+1 rechnen kann... bei mir war heute nacht nunmal 2+1=2 ...

08.01.2013, 14:06

klarsoweit

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Dahin wären wir jetzt auch gekommen, wenn man mit scharfem Blick sieht, daß $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 5n + 3 = (n+1) \cdot (2n+3) \end{eqnarray*}$ ist. smile

smile

08.01.2013, 14:12

christianh

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^^ ich glaube nicht das ich das gesehen hätte ...
aber die "umständliche" Variante geht ja auch^^

aber der Schritt wo es ja eigentlich bei mir gehaakt hat war diese zwei Brüche zu addieren und da hast du mir echt super helfen können. Vielen Dank!

08.01.2013, 14:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von christianh
^^ ich glaube nicht das ich das gesehen hätte ...

Die Faktorisierung von Polynomen mittels seiner Nullstellen sollte eigentlich mal im Unterricht drangewesen sein.

08.01.2013, 14:20

christianh

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In welcher Klasse kommt das denn vor? Das ist schon alles so lange her.

08.01.2013, 14:37

klarsoweit

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Bei der Nullstellenbestimmung vom Polynomen. Kann natürlich sein, daß das heute nicht mehr in Mode ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2013, 14:55

HAL 9000

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Und eigentlich genügt ja auch ein leichter Blick in Richtung Induktionsbehauptung um zu erfahren, was für eine Faktorisierung rauskommen muss. Was man dann lediglich noch verifizieren muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2013, 16:40

christianh

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Hammer

bitte was?

nene ausmultiplizieren reicht mir für´s erste, damit bin ich schon genug beschäftigt.

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