Mengenlehre - Beweise überprüfen

08.01.2013, 01:20

MatheTools

Mengenlehre - Beweise überprüfen

Hallo zusammen,

ich habe mir vor einer Weile das Buch Analysis I von Amann/Escher gekauft und da ich leider keine Lösungen zu den Übungsaufgaben finden kann, hoffe ich dass ihr mir vielleicht helfen könnt.

Für beide Sätze habe ich ein paar Beweise verfasst, aber da ich nicht weiß welcher der richtige ist, nehme ich einfach jeweils den der für mich am besten Aussieht und hoffe dass ihr mich in die richtige Richtung führen werdet, sollte etwas falsch sein Big Laugh

Zitat:

Satz:
Seien A, B Mengen. Man zeige:

Ist $\begin{eqnarray*} A \neq \varnothing \neq B \end{eqnarray*}$ , so gilt:
$\begin{eqnarray*} (A \times B = B \times A) \Leftrightarrow A = B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beweis:
$\begin{eqnarray*} (A \neq \varnothing \neq B) \Leftrightarrow (\exists (a, b)\in (A \times B) \wedge \exists (b, a)\in (B \times A)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A \times B = B \times A) \Leftrightarrow ((A \times B)\subseteq (B \times A)) \wedge ((B \times A)\subseteq (A \times B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall (a, b) \in (A \times B) : (a, b) \in (B \times A)) \wedge (\forall (b, a) \in (B \times A) : (b, a) \in (A \times B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall a \in A : a \in B) \wedge (\forall b \in B : b \in A) \wedge (\forall b \in B : b \in A) \wedge (\forall a \in A : a \in B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\forall a \in A : a \in B) \wedge (\forall b \in B : b \in A) \Leftrightarrow (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (A = B) \qed \end{eqnarray*}$

Zitat:

Satz:
Es seien X, Y, A, B Mengen, wobei X und A bzw. Y und B Teilmengen einer Obermenge U bzw. V seien. Man zeige:

Ist $\begin{eqnarray*} A \times B \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ , so gilt:
$\begin{eqnarray*} (A \times B) \subseteq (X \times Y) \Leftrightarrow (A \subseteq X) \wedge (B \subseteq Y) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beweis:
$\begin{eqnarray*} (A \times B \neq \varnothing) \Leftrightarrow (\exists (a, b)\in (A \times B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A \times B) \subseteq (X \times Y) \Leftrightarrow \forall (a, b) \in (A \times B) : (a, b) \in (X \times Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow(\forall a \in A : a \in X) \wedge (\forall b \in B : b \in Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (A \subseteq X) \wedge (B \subseteq Y) \qed \end{eqnarray*}$

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn sich jemand etwas Zeit für mein Problem nehmen könnte.

Vielen Dank schonmal smile

08.01.2013, 23:16

MatheTools

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Kann mir niemand sagen ob es richtig oder falsch ist :/ ?

09.01.2013, 18:35

weisbrot

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ich hab mir den 1. angeguckt - denk dran, dass das hier nicht das aufgaben-kontrollier-forum ist (boardprinzip).
du solltest daran denken dass du von zeile 3 zu 4 benutzt, dass A und B beide nicht leer sind, sonst ist das ok.
lg

09.01.2013, 19:57

MatheTools

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Zitat:

Original von weisbrot
ich hab mir den 1. angeguckt - denk dran, dass das hier nicht das aufgaben-kontrollier-forum ist (boardprinzip).
du solltest daran denken dass du von zeile 3 zu 4 benutzt, dass A und B beide nicht leer sind, sonst ist das ok.
lg

Oh.. das würde auch erklären wieso niemand antworten wollte :/
Es tut mir wirklich sehr leid, ich dachte es sei nur unerwünscht um Komplettlösungen zu bitten.

Vielen Dank für deine Antwort smile

Aber darf ich denn fragen was genau am 1. Beweis nicht stimmt?
Ich habe doch ganz oben schon gezeigt dass zum einen A und B nicht leer sind (Voraussetzung) und damit auch nicht AxB, oder nicht?

Und noch ein paar Fragen:
- Welche Variante ist schöner/gebräuchlicher/anerkannter:
-- Ein Beweis mit möglichst wenig "nicht-Mathe"-Sprache oder eher umgekehrt? (x : y ?)

- Angenommen Aufg. 1 sei eine Klausur- oder Übungsaufgabe, würde ich Punkte für meinen Beweis bekommen oder eher nicht?

- Versteh mich bitte nicht falsch, aber warum genau darf ich nicht nachfragen ob dass was ich gemacht habe richtig oder falsch ist?

09.01.2013, 21:30

weisbrot

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Zitat:

Es tut mir wirklich sehr leid, ich dachte es sei nur unerwünscht um Komplettlösungen zu bitten.

das braucht dir nicht leid zu tun, man sollte mit soeinem anliegen nur keine großen erwartungen haben.

Zitat:

Aber darf ich denn fragen was genau am 1. Beweis nicht stimmt? Ich habe doch ganz oben schon gezeigt dass zum einen A und B nicht leer sind (Voraussetzung) und damit auch nicht AxB, oder nicht?

es ist einfach wichtig dass klar wird warum die voraussetzung nötig ist (nämlich um von zeile 3 auf 4 zu schließen) und das wird es beim lesen des beweises nicht, wenn es dir klar ist ists ja gut, aber - womit ich zur nächsten frage komme -

Zitat:

Angenommen Aufg. 1 sei eine Klausur- oder Übungsaufgabe, würde ich Punkte für meinen Beweis bekommen oder eher nicht?

- es soll ja dem leser klar werden, d.h. man soll schon immer ein paar worte dazu schreiben, dann sind alle froh meistens.

Zitat:

Welche Variante ist schöner/gebräuchlicher/anerkannter: -- Ein Beweis mit möglichst wenig "nicht-Mathe"-Sprache oder eher umgekehrt? (x : y ?)

wichtig ist immer dass ein beweis schlüssig ist. man kommt letztendlich kaum um alltagssprache nicht herum (falls du das meinst); obwohl man in formalisierten beweisen gänzlich darauf verzichten könnte. mathematischer formalismus ist dazu da um über dinge mit größt möglicher gewissheit aussagen treffen zu können, was man mit der alltagssprache nicht kann. man gibt sich aber allgemein damit zufrieden zu wissen dass man es könnte - denn je tiefer und komplizierter die aussage desto komplizierter wäre ein wirklich formaler beweis (im gegensatz zu einem "naiven"). wichtig ist einfach: verständlichkeit und schlüssigkeit. das wirst du noch früh genug selbst lernen.
lg

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