Summenzeichen; Umformen?

08.01.2013, 09:45	KVothe	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen; Umformen? Was bedeutet es denn, wenn unter einem Summenzeichen eine Summe steht. Beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k_1 + \cdots + k_r =n} \binom {n} {k_1 , \cdots , k_r} \end{eqnarray}$ Bzw. wie kann man dies ggf. 'aufspalten' in Summen mit nur einem Index, falls dies überhaupt nötig ist. Vielen Dank
08.01.2013, 10:21	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
das bedeutet, dass über alle Kombinationen $\begin{align} k_1,k_2,\cdots,k_r \end{align}$ summiert wird unter der Nebenbedingung, dass die Summe der $\begin{align} k_i \end{align}$ die Zahl $\begin{align} n \end{align}$ ergeben muss.
08.01.2013, 11:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt wäre auch eigentlich eher $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\substack{(k_1,\ldots,k_r)\in \mathbb{N}^r: \\ k_1 + \cdots + k_r =n}} \binom {n} {k_1 , \cdots , k_r} \end{eqnarray}$ gewesen. Aber zum einen sind solche Monster unter dem Summensymbol etwas unhandlich, und zum anderen ist aus dem Kontext (der hier fehlt) auch meist ersichtlich, über welche Variablen summiert werden soll. Eine Aufspaltung geschieht für $\begin{eqnarray} j=1,\ldots,r-1 \end{eqnarray}$ auf der Grundlage von $\begin{eqnarray} 0\leq k_j\leq k_j+k_{j+1}+\cdots+k_r = n-k_1-\cdots-k_{j-1} \end{eqnarray}$ , d.h. wenn du unbedingt willst, könnte man $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k_1+\cdots+k_r=n} \binom {n} {k_1 , \cdots , k_r} = \sum_{k_1=0}^n \sum_{k_2=0}^{n-k_1} \sum_{k_3=0}^{n-k_1-k_2} \ldots \sum_{k_{r-1}=0}^{n-k_1-\ldots-k_{r-2}} \binom {n} {k_1 , \cdots , k_{r-1},n-k_1-\ldots-k_{r-1}} \end{eqnarray}$ , schreiben, dabei wird genutzt, dass der letzte Index $\begin{eqnarray} k_r \end{eqnarray}$ bei Vorgabe der restlichen Indizes $\begin{eqnarray} k_1,\ldots,k_{r-1} \end{eqnarray}$ ja bereits festgelegt ist als $\begin{eqnarray} k_r = n-k_1-\ldots-k_{r-1} \end{eqnarray}$ .

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