Lineares Gleichungssystem mit Gauß-Algorithmus lösen

08.01.2013, 10:34

134340

Lineares Gleichungssystem mit Gauß-Algorithmus lösen

Ich habe die drei Gleichungen:

code:
1: 2: 3:	2x +2y -z=-1 -x + y -z=-5 3x - y -z=-7

gegeben.

Als Lösungen hab ich mittels Gauß-Algorithmus folgende Werte berechnet:
z=5
y=4
x=-2

Sind meine Lösungen korrekt?

08.01.2013, 10:46

Cel

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Hallo,

hast du denn mal eine Probe gemacht? Dann siehst du es doch. Augenzwinkern

08.01.2013, 10:48

lgrizu

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RE: Lineares Gleichungssystem mit Gauß-Algorithmus lösen
Überprüfung in Gleichung 2 ergibt:

$\begin{eqnarray*} -(-2)+4-5=1 \neq -5 \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 11:19

134340

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hmmm, dann geb ich euch mal meinen Rechenweg Big Laugh

Hier die Gleichungen als Matrix (ich habe die Matrixzeilen mit I, II und III benannt):
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier Meine erste Reduktion (die Rechenschritte habe ich links neben jede Zeile geschrieben):
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} I \\ 2*II-I \\ 3*I - 2*III \end{matrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\ 0 & 8 & -5 & -17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die beiden nun relevanten Matrix Zeilen (also die Zeile 2 und 3) bezeichne ich einfach mal mit (1) und (2). Bei der zweiten Reduktion habe ich folgendes Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} I \\ (1) \\ (2)-2*(1) \end{matrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann hab ich einfach eingesetezt.

Habe ich mich bei irgendeiner Matrix verrechnet?

PS. ich hoffe ihr blickt bei den bezeichnungen durch^^ Big Laugh

08.01.2013, 11:42

lgrizu

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Also, deine angebenen Rechenschritte haben mich am Anfang etwas verwirrt, denn du operierst ja im ersten Schritt auf der zweiten Zeile, also deine Operation ist I+2*II (hier hast du auch noch das Vorzeichen falsch angegeben) und nicht - wie du geschrieben hast 2*II-I, ebenso ist deine dritte Operation 3*I-2*III.

Aber das nur am Rande...

Der zweite Eintrag in der dritten Zeile stimmt auch nicht, es ist $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot 3 - (-1) \cdot 2=-3+2=-1 \neq -5 \end{eqnarray*}$

Desweiteren würde ich folgendermaßen anfangen (nur als Tip):

I-II und I-III

08.01.2013, 12:07

134340

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Zitat:

Original von lgrizu
Desweiteren würde ich folgendermaßen anfangen (nur als Tip):

I-II und I-III

Wie meinst du das? Wenn ich bei der ersten Reduktion I-II und I-III mache bekomm ich doch aber nicht die ersten beiden Nullen

Ich hab jetzt als "End-"Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
is das jetzt richtig? Ne oder^^ Aber warum nicht? Iregndwas habe ich übersehen -.-

08.01.2013, 12:42

lgrizu

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Nö, die ersten beiden Nullen nicht, aber in der letzten Spalte bekommst du, wenn du richtig rechnest Nullen. Das war aber lediglich ein Tip, wenn man richtig rechnet sieht die Matrix nach den beiden Operationen I-II und I-III so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ -1 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber einmal deine Weg von Anfang an:

1. Schritt: I+2*II und 3*I-2*III ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\0 & 8 & -1 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, jetzt bist du wieder dran

08.01.2013, 13:12

134340

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Zitat:

Original von lgrizu
1. Schritt: I+2*II und 3*I-2*III ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\0 & 8 & -1 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Schritt (2)-2*(1) ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\0 & 8 & -1 & 11 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -11 \\0 & 0 & 5 & 33 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es stimmen Big Laugh

Oder?

08.01.2013, 13:35

lgrizu

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Jap, nun sollte es stimmen.

08.01.2013, 13:39

134340

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Man, man, man, Matrizen sind echt sehr Fehler anfällig da verrechnet man sich an einer Stelle und muss alles noch mal durchgehen -.- Ich hoffe das legt sich noch Big Laugh

Danke für deine Hilfe Freude

08.01.2013, 13:44

lgrizu

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Dann stelle ich dir noch mal meine Lösung vor, die ich ein wenig einfacher finde, da weniger Multiplikationen für die Zeilenumformungen notwendig sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \textbf{I-II und I-III} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ -1 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \textbf{II+}3 \cdot \textbf{III} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 & 22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 13:56

134340

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Auch eine sehr schöne Alternative, ich wollt das aber mit dem Gauß-Algorithmus machen, da ich mir den irgend wie angewöhnt habe Big Laugh

08.01.2013, 14:04

lgrizu

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Das ist der Gauß-Algo, ich hätte das auch mit Pivotisierung machen können und die Spalten entsprechend vertauschen können, ist aber eigentlich nur für Rechnergestützten Gauß-Algo notwendig, per Hand kann man das dann auch so machen.

08.01.2013, 14:07

134340

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Achso, natürlich, man kann ja die Spalten einfach vertauschen Big Laugh

Mein Lehrer hat mir das so erklärt, dass "unten links" immer ein Dreieck aus Nullen stehen muss. Ich hab einfach nich bedacht, dass man die Spalten ja einfach drehen kann.

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