Fréchet-Ableitung

08.01.2013, 11:26	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Fréchet-Ableitung Guten Morgen, ich habe hier eine Möglichkeit gefunden, eine Fréchet-Ableitung zu berechnen. Wie kommt man darauf? Hat einer zufällig eine Quelle, wo das als Satz oder Definition steht? Also dass die Fréchet-Ableitung $\begin{eqnarray} F'(x_0)h \end{eqnarray}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray} F'(x_0)h = \frac{d}{dt} F(x_0 +th)\vert_{t=0} \end{eqnarray}$ ?
08.01.2013, 11:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fréchet-Ableitung Betrachte die Ableitung von $\begin{eqnarray} g(t):=F(x_0+th) \end{eqnarray}$ an der Stelle t=0
08.01.2013, 12:16	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, probier ich mal: $\begin{eqnarray} g'(0) = \lim_{m \to 0}~\frac{g(m) - g(0)}{m} = \lim_{m \to 0}~\frac{F(x_0 + m \cdot h) - F(x_0)}{m} \end{eqnarray}$ Und da verliessen sie ihn ... das erinnert mich natürlich an die Differenzierbarkeit von reellen Funktionen oder auch an solche Sachen wir Mittelwertsatz, aber $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist im allgemeinen ja nicht reell ...
08.01.2013, 12:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Frechetableitung gilt doch $\begin{eqnarray} F(x_0+mh)-F(x_0)=F'(x_0)(mh)+r(mh) \end{eqnarray}$ und für den Rest gilt $\begin{eqnarray} lim_{mh\to 0}\frac{r(mh)}{\\|mh\\|}=0 \end{eqnarray}$ . Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass F diffbar ist. Es geht nur um eine einfache Berechnung der Ableitung.
08.01.2013, 14:03	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
... dann geht meine Gleichung oben also weiter $\begin{eqnarray} = \lim_{m \to 0} \frac{F'(x_0)(mh) + r(mh)}{m} = \lim_{m \to 0} F'(x_0)h + \frac{r(mh)}{m} = F'(x_0)h \end{eqnarray}$ Das letzte = ergibt sich aus der Tatsachen, dass es egal ist, ob mh normmäßig gegen 0 geht oder die reelle Zahl m gegen 0. OK so? Hat mir sehr weitergeholfen, danke, falls es nichts zu meckern gibt.
08.01.2013, 14:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Yep Formal kannst noch schreiben $\begin{eqnarray} \frac {r(mh)}{\|m\|}=\frac {r(mh)}{\\|mh\\|}\\|h\\|\ \end{eqnarray}$ Kennst du die Richtungsableitung, die man für Funktionen $\begin{eqnarray} f:G\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert? Im Grunde ist das nichts anderes.
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08.01.2013, 14:40	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kenne ich. Das alles taucht im Rahmen meines letzten Seminars auf, bin im letzten Mastersemester, aber Berührpunkte mit reiner Analysis liegen weit hinter mir. Hast mir sehr geholfen, danke.

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