Folge,Grenzwert

08.01.2013, 11:45

Heiri

Folge,Grenzwert

Meine Frage:
Hallo zusammen, bin gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter.
Also Folgendes:

Untersuche das Konvergenzverhalten und bestimme ggf. den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in N} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in N} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Das Problem bei dieser Aufgabe ist ja das Minuszeichen zwischen den beiden Wurzeltermen. Beide Terme divergieren. würde ein Additionszeichen dazwischen stehen, so müsste ich garnichts rechnen sondern könnte gleich sagen, dass die Folge divergiert, denn "divergent plus divergent" muss divergent sein. "divergen minus divergent" könnte aber etwas sein das konvergiert.
(Bitte korrigiert mich, falls ich Stuss erzähle.

Also multipliziere ich mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
noch ein bisschen umformen, dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

so. Wie verfahre ich nun weiter? wie finde ich nun den Grenzwert?

MfG

Heiri

08.01.2013, 11:48

lgrizu

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RE: Folge,Grenzwert
Unter Zuhilfenahme der Grenzwertsätze:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{ \lim_{n \to \infty}a_n} \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 11:51

Heiri

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aber Moment mal. Wieso geht das??

Ich dachte die Grenzwertsätze darf man nur anwenden, wenn man weiss dass die Folge konvergent ist. Doch dies weiss ich ja eben Nicht.
Oder darf man den Limes immer einfach in die Folge "reinziehen"?

08.01.2013, 11:57

Heiri

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Ok wenn ich nun den Term einfach mal auseinander nehme, den limes in den Nenner ziehe und n gegen unendlich laufen lasse, dann müssten beide Terme gegen null streben und somit auch die gesamte Folge.

Ich hab nun in den Lösungen nachgeschaut und so stimmt es auch.
Was ich aber nach wie vor nicht verstehe ist folgendes:

Warum darf man, ohne zu wissen ob die Folge konvergent ist, die Grenzwertsätze anwenden - sprich den limes einfach in den Term hineinziehen?

Gruss Heiri

08.01.2013, 12:16

lgrizu

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Ich habe gerade noch einmal nachgeschaut, da ich mir auch nicht mehr ganz sicher gewesen bin nach deiner Anmerkung.

Ich habe als Kriterium bzw. als Rechenregel im Rep. Ana 1 nur stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim a_n=a, \lim b_=b \Rightarrow \lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Eine berechtigte Frage ist, wie denn nun eigentlich der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \infty} \end{eqnarray*}$ definiert ist, das führt auf das obige Problem, ob der Grenzwert denn existieren muss.

eine andere Rechenregel für Grenzwerte bzw. ein anderer Grenzwertsatz sagt jedoch:

$\begin{eqnarray*} \lim a_n = \infty \Rightarrow \lim \frac{1}{a_n}=0 \end{eqnarray*}$ , das sollte dann auch zum Zeil führen.

08.01.2013, 12:54

Heiri

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In meinem Skript steht:

" Seien die Folgen an, bn konvergent mit lim an = a, lim bn = b, dann konvergieren die Folgen an+bn, an/bn ... "

Jedenfalls recht herzlichen Dank für deine Mühe an dieser Stelle.
Das Problem wird wohl noch für Diskussionsstoff sorgen smile

Herzlich

Heiri

08.01.2013, 19:52

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Heiri
...Das Problem wird wohl noch für Diskussionsstoff sorgen...

Na, da überschätzt Du das Problem aber deutlich!

Offenbar gilt doch

$\begin{eqnarray*} 0<a_n<\frac 1{\sqrt{n}}\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Es genügt also zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{n}}=0. \end{eqnarray*}$

Und das sollte nicht schwer fallen.

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