Herstellung von Schrauben... Matrix aufstellen

13.02.2007, 21:46

Risuku

Herstellung von Schrauben... Matrix aufstellen

Hi habe hier folgende Aufgabe.

Für die Herstellung EINER Schraube durchläuft der Rohling eine Maschine M_1, und wird dann von zwei Maschinen M_2 und M_3 fertig bearbeitet. Für 3 Schraubensorten A, B , C ist in Fig. 1 angegeben wie viele Minuten jede Maschine dafür laufen muss. Je Arbeitstag kann M_1 insgesamt 600 Minuten, M_2 nur 540 Minuten und M_3 nur 560 Minuten lang betrieben werden. Wie viele Schrauben der Sorte A, B , C können jeweils pro Tag hergestellt werden.

Hier mal die Fig 1. (es ist eine Tabelle.)

------|--- A ---------- B ------------ C----
M_1 |----2-----|------4------|------1----
M_2 |----1-----|------3------|------2----
M_3 |----4-----|------3------|------2----

Also ich stelle mir das so vor.

Menge:
A: in 2 + 1 + 4 (Mins) wird EINE schraube hergestellt.
B: in 4 + 3 + 3 (Mins) wird EINE schraube hergestellt.
C: in 1 + 2 + 2 (Mins) wird EINE schraube hergestellt.

Richtig?

Frage ist ja:
A: in 600 + 540 + 560 (Mins) werden X schrauben hergestellt.
B: in 600 + 540 + 560 (Mins) werden X schrauben hergestellt.
C: in 600 + 540 + 560 (Mins) werden X schrauben hergestellt.

von da an komm ich ABSULUT nicht weiter -.- vllt kann mir jemand da helfen.

lg risu

13.02.2007, 22:07

tigerbine

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RE: Herstellung von Schrauben... LGS
Gesucht ist der Anzahlvektor (a,b,c)^T, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.02.2007, 22:21

Risuku

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hmm also anzahlvektor... habe ich noch nie was von gehört Oo

also ich soll eine erweiterte matrix aufstellen mit den Lösungen rechts von a b c? kann ich dann auch für a b c die 600 540 und 560 einsetzen?

sorry wenn ich da total falsch liege -.-

lg risu

13.02.2007, 22:36

tigerbine

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Anzahlvektor, so hab ich den jetzt mal genannt.

Nein, für a,b,c kannst du nicht 600 540 und 560 einsetzen. Denn a,b,c stehen für die produzierten Schrauben. Liest man eine Zeile aus, dann gibt das die Laufzeit der Maschine wieder.

Die Lösung des LGS für den "=" Fall lauten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6\frac{2}{3} \\128 \\74 \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.02.2007, 22:55

Risuku

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hmm ich schein dafür etwas zu blöd zu sein -.-

also ich will eine Matrix aufstellen. Wird in der Aufgabenstellung gefragt wieviele Schrauben ich mit den 3 Maschinen bauen kann wenn ich einen Tag lang nur zB Schraube A herstelle? oder direkt alle 3 zusammen?

Habe da im moment GARKEINEN durchblick für. traurig

--- A ---------- B ------------ C----||
----2-----|------4------|------1----|| 600
----1-----|------3------|------2----|| 540
----4-----|------3------|------2----|| 560

Würde so die Matrix aussehen? bin glaube ich gerade voll verpeilt.
wenns richtig is dann auf stufenform bringen denke ich ma.

lg risu

13.02.2007, 23:01

tigerbine

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Zitat:

Risuku
Wie viele Schrauben der Sorte A, B , C können jeweils pro Tag hergestellt werden.

Unter der Bedingung, dass

Zitat:

Risuku
Je Arbeitstag kann M_1 insgesamt 600 Minuten, M_2 nur 540 Minuten und M_3 nur 560 Minuten lang betrieben werden

Und die Produktionsdauern sich zu

Zitat:

Risuku

------|--- A ---------- B ------------ C----
M_1 |----2-----|------4------|------1----
M_2 |----1-----|------3------|------2----
M_3 |----4-----|------3------|------2----

ergeben.

Das führt für mich auf das LGS

Zitat:

tigerbine

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.02.2007, 23:08

Risuku

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Zitat:

tigerbine

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hmm also ich blick da weiterhin nicht durch. ich verstehe diese schreibweise nicht -.-
Was bedeutet diese denn?

a b c sind die produzierten schrauben von den Sorten A B C das weiß ich nu. Aber ich versteh wie gesagt net genau was die schreibweise bedeutet. wie baue ich daraus die matrix auf?

lg risu

13.02.2007, 23:12

tigerbine

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Kannst du mit Matrizen rechnen?

13.02.2007, 23:15

Risuku

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jaaa ich denke schon... hatte auch hier eine erweiterte matrix gepostet.

--- A ---------- B ------------ C----||
----2-----|------4------|------1----|| 600
----1-----|------3------|------2----|| 540
----4-----|------3------|------2----|| 560

so hatte ich mir das vorgestellt. lösen würde ich es dann nach dem gauß verfahren. also so wie ich das sehe habe ich keine probs mit matrizen zu rechnen.

vllt habe ich auch gerade hier ein verständnisprob Oo
ich versteh nur deine schreibweise nicht ^^

lg risu

13.02.2007, 23:21

tigerbine

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Verstehst Du meine Klammern nicht, oder was?

[quote]
Risuku

------|--- A ---------- B ------------ C----
M_1 |----2-----|------4------|------1----
M_2 |----1-----|------3------|------2----
M_3 |----4-----|------3------|------2----

[quote]

Anahme: Wir stellen folgende Mengen her: 1A, 1B, 1C. Wie lange laufen die Maschinen M_1,M_2, M_3?

13.02.2007, 23:25

Risuku

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Zitat:

Verstehst Du meine Klammern nicht, oder was?

hmm ich versteh einfach die schreibweise nicht. dazu gehören auch die klammern. man kann sagen ich weiß nicht wie ichs schreiben soll. und wenn ich das nicht weiß versteh ichs auch nicht traurig

also entweder is das so lange her das ich das nichmehr weiß oder wir hatten das nie im unterricht. Oo

ich glaub ich gebs auf. naja trotzdem thx für deine mühen Augenzwinkern

13.02.2007, 23:39

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Matrix und LGS

14.02.2007, 00:11

Risuku

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Matrix und LGS

Also die Form die du da stehn hast ist wie unter dem Punkt Matrixform folgende(mal abgesehn davon das du KLEINER|GLEICH da stehn hast):

A*x = b

wäre es so dann könnte ich das doch auf die Form (A b) bringen oder? :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ & & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

NUR was mache ich in deinem fall ? dazu habe ich nichts in dem text gefunden -.-

lg risu

14.02.2007, 00:15

tigerbine

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Ja das ist alles richtig. Was ist denn jetzt eigentlich mein Fall verwirrt

Der, dass da ein Ungleichheitszeichen steht?

14.02.2007, 00:19

Risuku

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Zitat:

Original von tigerbine
Ja das ist alles richtig. Was ist denn jetzt eigentlich mein Fall verwirrt

Der, dass da ein Ungleichheitszeichen steht?

neee bei dir steht doch KLEINER GLEICH! oder täusche ich mich da. da weiß ich nicht wie ich das schreiben soll. bei "=" weiß ich es ja nun(bzw wusste ich es auch vorher -.-).

DEIN FALL ist das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei dem "="Fall schreib ich die Matrix so

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ & & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

aber da muss ja was anders sein wenn da $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt = steht.

lg risu

14.02.2007, 00:34

tigerbine

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Ok, sry. ist schon was spät. Ich meine ja das Zeichen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wenn man das auf das "=" reduziert, kommt die Lösung raus, die ich dir schon gepostet habe. Dabei treten aber Brüche auf. Mit 2/3-Schrauben wird das wohl nix Augenzwinkern

Also kommt es nie zur Vollauslastung aller Maschinen.

Die Lösungsmenge kännst Du dir wie folgt vorstellen. Ein 3-dimensionales Koordinatensystem - Achsenbezeichnung a,b,c.

Jede Zeile des LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beschreibt eine Ebene in diesem Raum. Dabei interessiert uns nur der "Quadrant" (mir fehlt gerade das Wort für den 3dim Fall), der pos Achsenteile von a,b,c.

Die 3 Ebenen bilden mit den "pos. Ebenenteilen" von ab-Ebene, ac-Ebene, bc-Ebene einen dreidimensionalen Körper.

Alle Punkte innerhalb oder auf dem Rand dieses Körpers, die ganzzahlige Koordinaten haben, lösen das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was in deiner Aufgabenstellung fehlt ist z.B. die Forderung, dass die Standzeiten der Maschinen minimiert werden sollen (wir könnten ja auch einfach nichts produzieren).

Eine solche Aufgabenstellung ist z.B. typisch in der BWL-Produktion. Ein Lösungsverfahren dazu ist dann z.B. der Simplexalgorithmus.

14.02.2007, 00:51

Risuku

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jaaa das mit dem 2/3 leuchtet mir ein. Dann rundet man denke ich mal auf JEDEN FALL ab. Richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also kann ich nun DOCH einfach eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen oder versteh ich das immer noch nicht? Oo

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bildet dabei den erweiterten Teil oder nicht?

Dann bring ich das einfach auf stufenform damit ich erst c b und dann a herausbekomme. Anders kann ich es einfahc nicht verstehen -.- habe aber mehr als das raus was du raus hast also muss ich doch was falsch verstehen aber ich komme nicht drauf was -.- NUR WAS?!

lg risu

14.02.2007, 00:58

tigerbine

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Ob man ein LGS in der Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4&1 \\ 1&3&2 \\ 4&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2a +4b +1c \\ 1a + 3b +2c \\ 4a +3b +2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 540 \\ 560\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2a +4b +1c&|&600 \\ 1a + 3b +2c&|&540 \\ 4a +3b +2c &|&560 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreibt, ist völlig egal. Das ändert nichts ander Lösung.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6\frac{2}{3} \\ \\128 \\ \\74 \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

habe aber mehr als das raus was du raus hast

Was haste denn raus?

14.02.2007, 01:35

Risuku

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hmm hattest recht. habe das ja bei mir als c b a stehn -.- nagut selten dämlich aber was will man machen 1:15 halt.

kann man solche aufgaben immer auf diese art lösen? habe hier nämlich noch eine andere aufgabe .

Eine Gärtnerei möchte 5kg Blumendünger mischen der 45% Kalium enthält. Zur Verfügung stehen die Drüngersorten A B Cin Fig2.
a) LGS aufstellen
b) Welche mischung kostet am wenigsten (meisten)

also gesucht ist eine Sorte D mit 45% Kalium

Es ist wieder eine Tabelle angegeben Zu jeder sorte A B C

Kalium
Stickstoff
Phosphor
---
Preis €/kg

A:
40%
50%
10%
1.60€

B:
30%
20%
50%
1.80€

C:
50%
30%
20%
1.70€

also so wie ich das sehe habe ich 2 angaben zu Sorte D.
Einmal Kalium 45 % und Menge 5kg.

wie kann man da ran gehen? ich meine das unterscheidet sich ja schon alleine weil dort noch eine 4. Komponente drinne ist (der Preis). Die 5kg kann ich ja später erledigen wenn ich den Preis evtl noch dafür bestimme. aber erstmal würde ich sagen preis für 1kg ermitteln oder?

lg risu

14.02.2007, 01:43

tigerbine

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Zitat:

1:15

Wo steht da jetzt die Tabelle? ... Kanst das mal editieren geschockt

14.02.2007, 02:10

Risuku

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hmm dachte das wäre deutlich Big Laugh

Kalium
Stickstoff
Phosphor
---
Preis €/kg

A:
40%
50%
10%
1.60€

B:
30%
20%
50%
1.80€

C:
50%
30%
20%
1.70€

naja ich mach dir mal die tabelle:

--------------|--A----------------B-------------C-------
Kalium-----|--40%----|------30%----|----50%---
Stickstoff-|--50%----|------20%----|----30%---
Phosphor-|--10%----|------50%----|----20%---
___________________________________
Preis(€/kg)--1.60----|------1.80----|----1.70---

also 4 unbekannte mit D und 4 gleichungen mit dem Preis.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 40 & 30 & 50 \\ 50 & 20 & 30 \\ 10 & 50 & 20 \\ 1.60 & 1.80 & 1.70 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann das stimmen?

also für x2 x3 x4 fällt mir nichts ein unglücklich

sicherlich den ich wieder voll falsch.
gesucht sind ja a b c d wobei a b c die anteile von den verschiedenen düngern sind um halt auf die 45% zu kommen oder?

ich leg mich auch jetzt ins bett. ich les hier heude früh nochmal vllt komm ich dann noch auf die lösung danke nochmals Augenzwinkern

14.02.2007, 02:51

tigerbine

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Eine Gärtnerei möchte 5kg Blumendünger mischen der 45% Kalium enthält. Zur Verfügung stehen die Drüngersorten A B C

-------------|--A----------------B-------------C-------
Kalium-----|--40%----|------30%----|----50%---
Stickstoff--|--50%----|------20%----|----30%---
Phosphor--|--10%----|------50%----|----20%---
_______________________________________
Preis(€/kg)--1.60-----|------1.80----|----1.70---

Welche Mischungen sind da möglich? a,b,c bezeichne die KilogorammAnteile von A,B,C in der Msichung.

Es sollen 5kg gemischt werden

a+b+c = 5

Wichtig ist hier, dass 45%Kalium rauskommt. Das führt auf die Gleichung

0.4a + 0.3b + 0.5c = 0.45(a+b+c) = 0.45*5 = 2.25

DerPreis der Mischung ist

1.60a + 1.80b + 1.70c

Das führt auf das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.4&0.3&0.5 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.25 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0.75&1.25 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.625 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0.75&1.25 \\ 0&0.25&-0.25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.625 \\ -0.625 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da es unterbestimmt ist, gibt man die Lösung in Abhängigkeit einer Variablen an. Sei c frei wählbar, dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} b= c-2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 5.625-0.75(c-2.5)-1.25c = 7.5-2c \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} a,b, \geq 0c \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} c\in [2.5,3.75] \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} b \in [0,1.25],~a \in [0,2.5] \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe b musst Du eben überlegen, für welches zulässige c der Mischungsvektor:

$\begin{eqnarray*} (7.5-2c,~c-2.5,~c)^T \end{eqnarray*}$

am geringsten/meisten kostet Augenzwinkern

So du schuldest mir einen Kaffee

http://www.my-smileys.de/smileys3/kaffeetrinker_2.gif

Schläfer

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