Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen

08.01.2013, 12:14

Gruene_Fee22

Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

im Zuge einer Aufgabe habe ich folgendes lineares Gleichungssystem erhalten:

-2w1 + 1w2 + 1w3 = 0
1w1 - 3w2 + 3w3 = 0

Meine Ideen:
Eigentlich ja wirklich eine simple Sache, aber irgendwie stehe ich gerade echt aufm Schlauch und bitte euch um Hilfe smile

Habs zuerst mit dem Gauß Verfahren probiert, aber bin nicht weitergekommen. Daher hab ichs dann so probiert:

I: -2w1 + 1w2 + 1w3 = 0
II: 1w1 - 3w2 + 3w3 = 0

I: w1 - 0,5w2 - 0,5w3 = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ w1 = 0,5w2 + 0,5w3 ... dann in II eingesetzt:

II: 0,5w2 + 0,5w3 - 3w2 + 3w3 = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : -3,5w2 + 3,5w2 = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ w2 = w3

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen!

08.01.2013, 12:32

Dopap

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RE: Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen

Zitat:

Original von Gruene_Fee22
II: 0,5w2 + 0,5w3 - 3w2 + 3w3 = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : -3,5w2 + 3,5w2 = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ w2 = w3

leider falsch. -3.5w2 stimmt nicht.

08.01.2013, 17:59

original

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RE: Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen

Zitat:

Original von Gruene_Fee22

lineares Gleichungssystem erhalten:

-2w1 + 1w2 + 1w3 = 0
1w1 - 3w2 + 3w3 = 0

!

... für dein System wird es nicht eine, sondern beliebig viele Lösungen geben ->

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit t beliebig aus R

schau mal, ob das überhaupt zB für t=1 , oder t=-3 usw stimmt ?..

und wenn ja : dann überlege, warum das so ist und wie du das herleiten könntest..

ok?

08.01.2013, 18:59

Dopap

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@original: eigentlich schon eine Komplettlösung. Ist nicht gern gesehen.

09.01.2013, 13:26

Gruene_Fee

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RE: Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen
Danke erstmal für die Antwort.

Also nu bin ich doch ein wenig ... mhh... verwirrt. Denn \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} ist doch das Kreuzprodukt aus den Spannvektoren der Ebene E.
Wie bist du denn darauf gekommen, bzw. hast du das über die Rechnung des linearen Gleichungssystem gemacht?

Grüße,
Die Gruene_Fee

09.01.2013, 14:11

original

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RE: Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen

Zitat:

Original von Gruene_Fee

Denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist doch das Kreuzprodukt aus den Spannvektoren der Ebene E. verwirrt

..welcher Ebene E ???

also wenn du das schon geometrisch interpretieren willst:
du hast die Gleichungen zweier Ebenen E1 und E2 gegeben:

E1: -> -2w1 + 1w2 + 1w3 = 0
E2: -> 1w1 - 3w2 + 3w3 = 0

und suchst die gemeinsamen Punkte
dh die "Lösungen" sind die Punkte auf der Schnittgeraden von E1 und E2 ->
die Gleichung dieser Geraden ist dann zB eben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anmerkung:
ein gemeinsamer Punkt ist ja (0,0,0) da der Ursprung ja in beiden Ebenen E1 und E2 liegt
und einen Richtungsvektor der Schnittgeraden könntest du zB ja auch mit dem
von dir erwähnten Kreuzprodukt ermitteln (überlege warum)

Wink

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