Satz vom Max und Min

08.01.2013, 14:07

steviehawk

Satz vom Max und Min

Meine Frage:
Hallo,

Der Satz vom Maximum und Minimum besagt ja, dass eine stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Supremum und Infimum annimmt. Es existieren also Max und Min.
Der Beweis den ich vor mir habe ist etwas komplizierter, aber folgt es nicht schon daraus:

Wenn f stetig ist, dann ist auch f(D) ein Intervall. Jedes Intervall besitzt doch ein Sup und ein Inf. Da [a;b] abgeschlossen war ist auch f([a,b]) ageschlossen und sup und inf werden angenommen und ich habe wieder Max und Min.

stimmt das?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

EDIT:

Kompaktheit macht es noch einfacher: Eine nicht leere kompakte Menge besitzt ein größtes und kleinstes Element. ist D kompakt so ist auch f(D) kompakt. f(D) besitzt also ein größtes und kleinstes Element. Da sind sup und inf. Da es wirklich angenommen wird spricht man von max und min

right? Tanzen

08.01.2013, 15:08

chris95

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RE: Satz vom Max und Min

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Frage:
Hallo,

Der Satz vom Maximum und Minimum besagt ja, dass eine stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Supremum und Infimum annimmt. Es existieren also Max und Min.
Der Beweis den ich vor mir habe ist etwas komplizierter, aber folgt es nicht schon daraus:

Nein, das stimmt nicht.

Das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[1, \infty\right) \end{eqnarray*}$ ist z.B. abgeschlossen, $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist dort auch stetig.

Das Supremum wird aber nicht angenommen! Guck mal nochmal in euren Unterlagen nach wie ihr den Satz von Maximum und Minimum aufgeschrieben habt.

Im wirklichen Satz wird ja Kompaktheit vorausgesetzt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#...mum_und_Maximum

Damit beweist du etwas, in dem du das zu beweisende benutzt. Das ist natuerlich nicht zulaessig.

Viele Gruesse,
chris

08.01.2013, 15:36

steviehawk

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RE: Satz vom Max und Min
Satz vom Max / Min:

Ist $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig, so existieren Punkte $\begin{eqnarray*} u,v \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(u) \leq f(t) \leq f(v) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} t \in [a,b] \end{eqnarray*}$ .

Hier steht noch nichts von Kompaktheit!

08.01.2013, 15:43

chris95

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Doch, jedes abgeschlossene und beschraenkte Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^N \end{eqnarray*}$ ist kompakt. Somit ist jedes Intervall $\begin{eqnarray*} \left[a , b \right] \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ kompakt.

Wie mein Gegenbeispiel von oben zeigt, genuegt Abgeschlossenheit eben nicht aus.

10.01.2013, 11:26

steviehawk

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Okay dann möchte ich den Beweis jetzt ohne Zirkelschluss verstehen!

Also in meinen Unterlagen steht folgender Beweis, bei dem ich einen Schritt noch nicht verstehe:

Auf Grund der Stetigkeit von f und der Kompaktheit von K ist auch f(K) kompakt und es existiert: $\begin{eqnarray*} -\infty < inf_K ( f) = m \end{eqnarray*}$ .
Es existiert nun eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ so dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) \to m \in K \end{eqnarray*}$ gilt. (alles klar soweit!)

Da K kompakt ist existiert eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ deren GW ebenfalls in K liegt. Also z.b.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_{n_k}) \to u \end{eqnarray*}$ da f stetig ist folgt wieder:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_{n_k}) \to f(u) \end{eqnarray*}$ (auch alles klar soweit!)

Nun kommt was ich nicht verstehe:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(u) = \lim_{n \to \infty } f(a_{n_k}) = \lim_{n \to \infty } f(a_n) = m \end{eqnarray*}$

Also nimmt f in u ihr Infimum wirklich an und wir haben ein Minimum. (Für Maximum entsprechend)

Also die Gleichheitszeichnen rechts und links sind klar. Die folgen aus der Stetigkeit von f. Aber warum haben die Teilfolge und die Folge die gleichen Grenzwerte? Also warum gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_{n_k}) = \lim_{n \to \infty } f(a_n) \end{eqnarray*}$ ???

Danke für die Hilfe!

EDIT: Der Beweis ist jetzt direkt für kompakte Menge nicht mehr für das abgeschlossene Intervall!

23.01.2013, 12:16

steviehawk

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Zitat:

Also die Gleichheitszeichnen rechts und links sind klar. Die folgen aus der Stetigkeit von f. Aber warum haben die Teilfolge und die Folge die gleichen Grenzwerte? Also warum gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_{n_k}) = \lim_{n \to \infty } f(a_n) \end{eqnarray*}$ ???

kann mir da wirklich keiner helfen?? verwirrt

23.01.2013, 12:46

RavenOnJ

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Über die Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ ist nichts weiter angenommen, außer dass $\begin{align*} f(a_n) \end{align*}$ gegen das Infimum strebt. $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ muss nicht konvergent sein, selbst wenn $\begin{align*} K \end{align*}$ kompakt ist. Da aber $\begin{align*} K \end{align*}$ kompakt, kann man eine konvergente Teilfolge selektieren, wobei der Grenzwert $\begin{align*} f(a_{n_k}) \end{align*}$ natürlich auch das Infimum ist und wegen Konvergenz von $\begin{align*} (a_{n_k}) \end{align*}$ sogar angenommen wird.

23.01.2013, 12:59

steviehawk

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Warum ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ natürlich auch das Infimum?

Idee: Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ als Folge in K nicht konvergiert, dann kann ich dennoch eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ finden.

Wenn $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ gegen das Minimum strebt, dann finde ich auch eine Teilfolge die gegen das Minimum strebt. Da $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ in der der kompakten Menge den GW annimmt, wird auch unter der stetigen Funktion, dass Infimum angenommen.

Also so ganz ist mir noch nicht klar, warum $\begin{eqnarray*} f(a_{n_k} \end{eqnarray*}$ natürlich auch das Infimum als GW besitzt??

23.01.2013, 13:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von steviehawk
Warum ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ natürlich auch das Infimum?

Die Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ ist so konstruiert, dass die Folge $\begin{align*} f(a_n) \end{align*}$ konvergiert. Das ist hoffentlich klar. Eine Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert aber immer gegen denselben Wert wie die Folge, aus der die Teilfolge selektiert wird. Sonst wäre nämlich diese Folge (die, aus der ausgewählt wird) nicht konvergent. Mit der Auswahl von $\begin{align*} (a_{n_k} ) \end{align*}$ aus $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ selektierst du automatisch auch $\begin{align*} (f(a_{n_k})) \end{align*}$ aus $\begin{align*} (f(a_n)) \end{align*}$ . Beide müssen also denselben Grenzwert haben.

23.01.2013, 15:03

steviehawk

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Zitat:

Eine Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert aber immer gegen denselben Wert wie die Folge, aus der die Teilfolge selektiert wird.

Okay, genau das war mir nicht bewusst. Ich dachte wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge ist, für die gilt: $\begin{eqnarray*} a_n \to a (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ , dann kann ich auch eine Teilfoge wählen für die gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \to b \neq a (n \to \infty) \end{eqnarray*}$

23.01.2013, 16:36

RavenOnJ

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Dann hätte die Folge zwei Häufungspunkte, wäre also nicht mehr konvergent.

23.01.2013, 16:49

steviehawk

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Ja genau, das ist mir jetzt auch aufgefallen
Vielen Dank

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