leere Menge und IR sind offen/abgeschlossen

08.01.2013, 14:32

steviehawk

leere Menge und IR sind offen/abgeschlossen

Meine Frage:
Hey Leute, wenn ich zeigen weill, das die leere Menge offen / abgeschlossen ist, dann kann ich das jeweils über die Komplement - Regel zeigen und mit den reellen Zahlen argumentieren. Möchte ich es für IR zeigen kann ich genau so mit der leere Menge als Komplement argumentieren. Das kein Zirkelschluss entsteht muss ich aber irgendwo mal anfangen:

Behauptung die leere Menge ist offen. Beweis: Sei a ein Punkt in der leeren Menge. (dies ist schon falsch) dann ist die Delta - Umgebung von diesem Punkt auch ganz in der leeren Menge enthalten.

(Aus was Falschen kann nur was Richtiges folgen)

Geht das in die richtige Richtung?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

08.01.2013, 14:50

RavenOnJ

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Da gibt es nichts zu zeigen. "Offen" und "abgeschlossen" sind topologische Begriffe. Die leere Menge und die Grundmenge $\begin{align*} X \end{align*}$ (bei dir ist das $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ ) gehören beide zu jeder Topologie auf der Grundmenge $\begin{align*} X \end{align*}$ . Beide sind also in jeder Topologie offen. Da sie zueinander das Komplement sind, sind sie auch beide abgeschlossen. Du kannst deswegen von einer bestimmten Teilmenge $\begin{align*} A\subset X, A\ne \emptyset, A\ne X \end{align*}$ nicht sagen, sie sei "offen" oder "abgeschlossen" ohne gleichzeitig die Topologie mit anzugeben, unter der dieses $\begin{align*} A \end{align*}$ offen oder abgeschlossen ist. Die Tatsache, dass das meistens nicht gemacht wird, rührt daher, dass in diesen Fällen immer die sogenannte "natürliche" Topologie stillschweigend vorausgesetzt wird, in metrischen Räumen wie $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ wäre das die euklidische Topologie mit den (offenen) $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Kugeln als Basis der Topologie .

08.01.2013, 14:55

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Ich nehme an, du benutzt noch immer die euklidische Topologie auf den reellen Zahlen.
Für die leere Menge würde ich dann den Durchschnitt zweier geeigneter offener Mengen betrachten.

08.01.2013, 15:09

RavenOnJ

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@URL
Aber die leere Menge ist per definitionem offen, da sie immer zu einer Topologie dazugehört, also offen ist. Das muss man nicht anhand eines Durchschnittes zeigen. Das ergibt nämlich dasselbe, da die Axiome für eine Topologie konsistent sind. Dazu gehört, dass endliche Durchschnitte von Mengen aus der Topologie auch zur Topologie gehören und Durchschnitte können natürlich leer sein.

08.01.2013, 15:14

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Per definitionem muss das nicht sein. Setzt man für eine Topologie $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ nur die Stabilität bzgl. beliebiger Vereinigung und endlicher Durchschnitte voraus, kann man sich z.B. auf $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in\emptyset}A_i=\emptyset \end{eqnarray*}$ berufen.

08.01.2013, 15:19

RavenOnJ

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Meines Wissens gehört es zu den Axiomen einer Topologie, dass die leere Menge immer zur Topologie dazu gehört, damit zu den offenen Mengen in dieser Topologie.

08.01.2013, 15:30

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Häufig ist die leere Menge bei der Defintion einer Topologie dabei. Aber es müsste eben nicht sein. Falls bei steviehawk die leere Menge nicht dabei war, ist seine Frage also berechtigt. Darauf wollte ich nur hinaus. Falls sie dabei war, ist deine Antwort natürlich korrekt.

Ich kann übrigens auch nicht erkennen, welchen Mehrwert es hat, bei der Definition einer Topologie darauf zu verzichten, die leere Menge dazu zu nehmen. Vielleicht ist es die Motivation, ein möglichst sparsames Set an Eigenschaften für die Definition zu benutzen.

08.01.2013, 15:33

chris95

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In der Wikipediadefinition ist die Rede von einer leeren Menge:

http://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum#Definition

08.01.2013, 15:34

RavenOnJ

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Zitat:

Original von URL
Häufig ist die leere Menge bei der Defintion einer Topologie dabei. Aber es müsste eben nicht sein.

Ich würde sagen, sie ist immer dabei. Ich kenne keine Definition von Topologie, bei der auf die leere Menge als Mitglied der Topologie verzichtet wird.

Man könnte natürlich das Axiom über die leere Menge weglassen und dann von so etwas wie einer "Prätopologie" sprechen und von "präoffenen" Mengen. Ob das sinnvoll ist, weiß ich nicht.

08.01.2013, 15:46

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Dass man die leere Menge nicht braucht, steht doch unten. Wer es nachlesen will kann das bei
Querenburg, Mengentheoretische Topologie, Springer Verlag.

Aber ehe jetzt ein Glaubenskrieg ausbricht, sollten wir vielleicht steviehawk fragen, wie es denn in seiner Welt definiert ist.

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