Beispiel für nicht punktweise konvergente Funktionenfolge

08.01.2013, 15:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel für nicht punktweise konvergente Funktionenfolge Meine Frage: Hallo Leute, ich habe jetzt einige Bsp. zu Funktionenfolgen gemacht. Irgendwie hab ich das Gefühl, dass alle punktweise konvergieren. Das kann ja aber schlecht sein. Kann mir jemand ein Bsp. nennen, für eine Funktionenfolge, die weder punktweise noch glm. konvergiert? Meine Ideen: Danke! Eigene Idee: f(x) = sin(1/xn) besitzt für x gegen Null doch keinen Grenzfunktion, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse.
08.01.2013, 15:15	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, $\begin{eqnarray} \sin(\frac 1 x \cdot n) \end{eqnarray}$ konvergiert nicht. Aber du haettest gar nicht 1/x machen muessen.
10.01.2013, 13:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand eine punktweise konvergente Funktionenfolge nennen, die gegen eine stetige Funktion konverigert (punktweise) aber nicht gleichmäßig konvergiert? Ich hab nämlich das Gefühl, dass immer wenn sie punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, dass die Konvergenz dann auch gleichmäßig ist. Denn: Sei $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine Funktionenfolge, für die gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f_n(x) = f(x) \end{eqnarray}$ dann gilt doch immer: $\begin{eqnarray} \| f_n(x) - f(x) \| = 0 < \epsilon \end{eqnarray}$ für n gegen unendlich oder? Hab ja schon gezeigt, dass im Grenzübergang gerade die Grenzfunktion angenommen wird. Danke für die Hilfe!
10.01.2013, 14:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Gefühl trügt. Kurz gesagt geht es um die Bedingung $\begin{eqnarray} \| f_n(x) - f(x) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0(\epsilon,x) \end{eqnarray}$ Nur wenn $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ nicht von x sondern bloß von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ abhängt, hast du gleichmäßige Konvergenz. Abgesehen davon hast du in deiner Argumentation nirgends benutzt, dass f stetig sein soll. Damit wäre dann jede punktweise konvergente Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergent.
10.01.2013, 14:40	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f_n(x) := \sin(x/n) \end{align}$ konvergiert punktweise gegen $\begin{align} f(x) = 0 \end{align}$ , aber nicht gleichmäßig. Anderes, weniger kompliziertes Beispiel $\begin{eqnarray} g_n(x) = \begin{cases}0\text{ für $x< n$ }<br /> 1\text{ für $x\ge n$}\end{cases} \end{eqnarray}$ konvergiert ebenfalls punktweise gegen $\begin{align} g(x) =0 \end{align}$ aber nicht gleichmäßig.

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