Basis eines Vektorraums (der Polynome Bis zum Grad n)

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sokakp Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Vektorraums (der Polynome Bis zum Grad n)
Hallo allezusammen,
ich habe jetzt schon verzweifelt im Internet und hier im Forum nach passenden Anworten gesucht, aber nichts für mich aussagekräftiges gefunden.

Fragestellung: Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis des Vektorraums P2[x] (Vektorraum der Polynome bis zum Grad 2)?
Dazu sind dann 8 Anwortmöglichkeiten aufgeführt.

Ich suche zz eine seite oder ein Videotutorial oder wie diese "Problemfragestellung" weitläufig genannt wird, damit ich eine Beispielaufgabe habe, an der ich den Rechenweg nachvollziehen kann.

Es wäre super, wenn mir jemand dazu einen Link geben könnte.

Liebe Grüße
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

...oder Du postest mal die Antwortmöglichkeiten und Deine Gedanken dazu.
sokakp Auf diesen Beitrag antworten »

Okay:
a) [x,x^2]
b) [x^2, x,x+1,1]
c) [x+x^2, 1+x^2,x^2+x]
d) [x+x^2, 1+x^2,2+x+3x^]
e) [1+x^2,x+x^2,1+x]
f) [1+x+x^2, 1+2x+x^2,x+x^2]
g) [x^2+x,x^2+1]
h) [1-x^2,1+x^2,2-x^2]

Da ich die Musterlösung auch zur hand habe, weiß ich jetzt leider schon, dass die lösung e ist.

Über Polynome weiß ich vollgendes:

Was ich mit einer Basis assoziiere ist ein erzeugenden System, obdas hier relevant ist weiß ich nicht.
Mein Hauptproblem ist, dass ich diese Aufgabe vorgesetzt bekomme, aber noch nicht die Grundlagen davon kenne, geschweige denn, einmal eine rechnung oder den Sinn kenne (ich vermute: Erschaffen aller möglichen Polynomvariation bis zum Grad 2)

Meine Vermutung:
Das man die Lösungen in Vektoren umformt: quasi so:

dann hätte ich bei Antwort e: , ,
Daraus habe ich dann die determinate ermittelt: diese ist 2 => lin. unabhängigkeit.

Bei b ist das aber auch möglich, nur das das iwie 4 vektoren sind,welche aber auch lin. unabhängig sind.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sokakp
Meine Vermutung:
Das man die Lösungen in Vektoren umformt: quasi so:

So schreibt man das nicht, aber Deine Idee mit der Koordinatendarstellung hast Du danach dennoch richtig umgesetzt.

Zitat:
Original von sokakp
Daraus habe ich dann die determinate ermittelt: diese ist 2 => lin. unabhängigkeit.

Ich habe -2 erhalten, das Argument stimmt aber.

Zitat:
Original von sokakp
Bei b ist das aber auch möglich, nur das das iwie 4 vektoren sind,welche aber auch lin. unabhängig sind.

Bei b) ist ein Erzeugendensystem angegeben, aber keine Basis, denn der Raum ist vierdimensional. Jede vierelementige Menge von Vektoren ist also schon linear abhängig.

Eine Basis für den Raum ist gegeben durch , was in Koordinatendarstellng der Standardbasis von entspricht.

Edit: Natürlich war dreidimensional gemeint.
sokakp Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn das so ist, hab ichs verstanden (alles bezieht sich auf den R3)
Lösungsmöglichkeit a) und g) fallen aus, da diese nur 2 Einträge haben und somit keinen kompletten R3 aufspannen. Da b) 4 Einträge hat, kann man es automatisch auch ausschließen, da es dadurch lin. abhängig ist.
Bei den restlichen Antwortmöglichkeiten, zum beispiel f), kann ich die basis in 3 vektoren schreiben und davon die determinate (schnell geht Sarrus) bilden. Falls die Determinate =0 ist, so sind die 3 Vektoren linear abhängig und dies kann nicht die richtige Lösung sein. Ist die Determinate ungleich 0 sind die 3 Vektoren linear unabhängig und ich habe die richtige Lösung gefunden.
Somit habe ich gerade errechnet, dass e) die richtige Lösung ist.

Ich glaube der vorgang ist richtig so, oder!?! smile
Schönes Gefühl etwas verstanden zu haben smile
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die anderen infrage kommenden Determinanten nicht nachgerechnet, aber Deine Argumentation stimmt. Wink
 
 
sokakp Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für deine schnelle Hilfe smile
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