Aussage beweisen oder widerlegen

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08.01.2013, 18:05	Nayla	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage beweisen oder widerlegen $\begin{eqnarray} \exists a,b \in \mathbb N : a^{2} =6b^{2} \end{eqnarray}$ diese Aussage soll bewiesen oder widerlegt werden. ich gehe davon aus, dass solch ein a und b nicht existiert, denn wenn ich die Wurzel ziehe kommt da a=2,449...b heraus und somit würde b nicht in N liegen. Doch darf ich überhaupt die Wurzel ziehen? Irgendwie kommt mir die Aufgabe zu einfach vor doch finde alleine keinen Fehler. Würde mich freuen wenn da mal einer drübergucken kann. Welche Idee könnte ich denn sonst noch verfolgen falls das nicht stimmt?
08.01.2013, 19:25	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussage beweisen oder widerlegen du darfst schon die wurzel ziehen, doch dass dir dein taschenrechner eine zahl mit vielen nachkommastellen ausspuckt beweist noch nicht dass die aussage falsch ist. lg
09.01.2013, 00:38	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt mindesten ein paar a,b für das die aussage gilt (numerich ermittelt). beim beweis kann ich dir leider nicht helfen.
09.01.2013, 01:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@sneeper88: Beispiele?
09.01.2013, 01:29	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Um eine Lösung und damit auch die Aufgabe nicht zu verraten werde ich ein Beispiel für den Faktor 3 anstatt 6 geben: a = 138.907.099 b = 80.198.051 => a^2=3b^2 Es gibt darüber hinaus nur eine Lösung mit dem Faktor 6 für die gilt b<100 Mio. Also schon deutlich dünn gesät die Lösungen^^ Nach Lösung der Aufgabe kann ich gerne auch die Zahlen bekannt geben, aber das wäre jetzt nicht Sinn der Sache glaube ich. Ich stecke im Beweis auch fest. Idee: $\begin{eqnarray} n^{2} =\sum\limits_{i=1}^n (2i-1) \end{eqnarray}$ dann komme ich bis $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^a i - \frac{1}{2} (a-b)=\sum\limits_{j=1}^b 6j \end{eqnarray*}$ vielleicht hilft das ja
09.01.2013, 01:47	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@sneeper das meinst du jetzt nicht ernst, oder? Die Gleichung könnte nur eine Lösung haben, wenn 6 eine Quadratzahl wäre. Ist sie aber nicht. Deine Pseudolösung ergibt $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}138907099^2 &= 19295182152595801<br /> 3\cdot 80198051^2 &= 19295182152595803\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Deine Gleichheit ist nichts anderes als ein numerisches Artefakt. Ein Computer mag das für gleich halten, mathematisch gleich ist das dann noch lange nicht. [Die Rechnungen sind übrigens mit einem Haskell-Interpreter durchgeführt worden, damit kann man ganzzahlige arithmetische Operationen mit beliebig vielen Stellen exakt durchführen.]
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09.01.2013, 01:53	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich komme in beiden Fällen auf 19295182152595800 ob das jetzt Rechenungenauigkeit ist kann ich nicht sagen. Wie gesagt, alles nur numerisch bestimmt!
09.01.2013, 01:55	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe die Anmerkung zu meinem letzten Beitrag. Deine Rechnung ist falsch, da dein Computer offensichtlich nicht genau genug rechnen kann.
09.01.2013, 01:57	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mag sein, normal kann man auch bei Matlab die Genauigkeit einstellen (hab ich auf 100 Stellen exakt eingestellt). Das dabei was schiefgeht hätte ich nicht gedacht...
09.01.2013, 01:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
dass deine Rechnung falsch sein muss, kannst du schon daran erkennen, dass eine Zahl mit 9 am Ende zum Quadrat genommen an der letzten Stelle im Ergebnis eine 1 haben muss, jedoch eine Zahl mit 1 am Ende zum Quadrat und das Ergebnis mal 3 muss als Endergebnis eine 3 am Ende haben.
09.01.2013, 01:59	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
dann stimmt das mit der 100-stelligen Genauigkeit offensichtlich nicht.
09.01.2013, 02:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
mal ganz abgesehen davon, dass damit $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ rational wäre. Spätestens da hätte es dämmern müssen...
09.01.2013, 02:02	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL aber das Vertrauen in die Rechner ist unendlich ...
09.01.2013, 02:03	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt bin ich mit dem beweis hängen geblieben. Da wollte ich das einfach mal testen... Zeigt doch mal eure Beweise
09.01.2013, 02:05	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@sneeper Ist 3 eine Quadratzahl, oder 6? Welchen Beweis brauchst du noch? Du kennst den Fundamentalsatz der Arihmetik? Das sollte genügen.
09.01.2013, 02:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst du dir auch anschauen, wie man beweist, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ irrational ist und das auf die vorliegende Aufgabe übertragen.
09.01.2013, 02:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man den Beweis so machen? Wenn $\begin{eqnarray} a^2=6b^2 \end{eqnarray}$ , dann muss $\begin{eqnarray} b<a \end{eqnarray}$ sein. Außerdem ist $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ durch 6 teilbar. Also enthält $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ die Primfaktoren 2 und 3. Damit muss auch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ diese Primfaktoren enthalten und ist deswegen auch durch 6 teilbar. Damit ist $\begin{eqnarray} a=6c,\ c \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} a^2=6b^2=(6c)^2=36c^2 \Rightarrow b^2=6c^2 \end{eqnarray}$ . Mit der gleichen Argumentation erhält man dann, dass b durch 6 teilbar ist. So kann man dann immer weiter machen. Da $\begin{eqnarray} b<a \end{eqnarray}$ , werden die Zahlen dann immer kleiner. Da aber die natürlichen Zahlen und insbesondere die Zahlen, die durch 6 teilbar sind, von unten beschränkt sind, erhält man damit einen Widerspruch. Also gibt es keine Zahlen a und b, die die Gleichung erfüllen. Stimmt das so?
09.01.2013, 02:14	sneeper88	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mich das Problem auch interessiert werde ich morgen mal verscuchen ob ich das zeigen kann. Im Moment sehe ich es nicht, dass es kein a und kein b gibt, so dass die Gleichung gilt. Immerhin habe ich gelernt. Matlab nicht vertrauen :P
09.01.2013, 09:54	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Nick Das stimmt so. Du kannst aber von Anfang an o.B.d.A. annehmen, dass a und b teilerfremd sind, da man sie auf alle Fälle teilerfremd machen kann, indem man sie durch ihren ggT(a,b) teilt. Danach so wie du argumentieren und zeigen, dass dann a und b nicht teilerfremd sein können, damit Widerspruch.
09.01.2013, 12:35	Nayla	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für eure Antwortet, die haben mir echt geholfen! Hätte jedoch nie gedacht, dass so eine Aufgabe euch so interessier, freut mich aber. Liebe Grüße Nayla
09.01.2013, 13:19	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, so interessant ist die Frage nicht. Es wurde erst interessant, als jemand behauptete, die Gleichung wäre wahr. So was kann man natürlich nicht stehen lassen.

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