Differentialrechnung Aussage beweisen oder widerlegen

08.01.2013, 18:48

hoernchen

Differentialrechnung Aussage beweisen oder widerlegen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe, in der ich folgende Aussage beweisen oder widerlegen soll.
Wenn $\begin{eqnarray*} | f(x) | \leq sin^{2} (x) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f '(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß leider nichtmal, ob die Aussage wahr ist oder nicht.

Aus dem ersten Teil der Aussage folgt, dass f(x) beschränkt ist.
$\begin{eqnarray*} -sin^{2} (x) \leq f(x) \leq sin^{2} (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -1 \leq f(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) +1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)-1\leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ich kann also sagen, dass f(x) beschränkt ist in $\begin{eqnarray*} \left[-1, 1\right] \end{eqnarray*}$ .
Ich hatte überlegt, ob vielleicht der Satz von Rolle oder der Mittelwertsatz mir hier weiterhelfen könnten, aber wie kann ich beweisen, dass f(x) stetig ist in $\begin{eqnarray*} \left[-1, 1\right] \end{eqnarray*}$ und differenzierbar in $\begin{eqnarray*} \left(-1,1\right) \end{eqnarray*}$ ? Für den Satz von Rolle müsste ich ja auch zusätzlich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ ist.

Kann mir vielleicht jemand sagen, ob mein Ansatz so richtig ist oder ich völlig daneben liege?

Danke im Vorraus!

08.01.2013, 19:33

Leopold

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Über Stetigkeit und so weiter von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ scheint nichts bekannt zu sein. Aus

$\begin{eqnarray*} - \sin^2 x \leq f(x) \leq \sin^2 x \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt. Dividiere die obige Ungleichung durch $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Unterscheide dabei die Fälle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . In der Mitte steht auf jeden Fall der Differenzenquotient von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

08.01.2013, 19:49

hoernchen

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Ich verstehe leider den zweiten Teil deiner Aussage nicht genau. Warum soll ich denn durch $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ dividieren?

Würde es nicht reichen, wenn ich von
$\begin{eqnarray*} - \sin^2 x \leq f(x) \leq \sin^2 x \end{eqnarray*}$ die Ableitung nehme und dann $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetze? Daraus würde sich dann doch auch ergeben, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist, oder nicht? Würde das nicht eigentlich ausreichen?
Wofür brauche ich denn dann eine Fallunterscheidung?

08.01.2013, 19:56

Leopold

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Zitat:

Original von hoernchen
Ich verstehe leider den zweiten Teil deiner Aussage nicht genau. Warum soll ich denn durch $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ dividieren?

Würde es nicht reichen, wenn ich von
$\begin{eqnarray*} - \sin^2 x \leq f(x) \leq \sin^2 x \end{eqnarray*}$ die Ableitung nehme

Was für eine Ableitung? Was ist denn über $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bekannt? Aus deinen Angaben kann man nichts weiter entnehmen, als daß $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Von Differenzierbarkeit also keine Spur. Also kann man auch keine Ableitung "berechnen".
Um zu untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, gehst du in die Definition der Ableitung, stellst also den Differenzenquotienten auf.

08.01.2013, 20:03

hoernchen

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Aber kann ich es nicht so lösen:

Die Ableitung aus $\begin{eqnarray*} - \sin^2 x \leq f(x) \leq \sin^2 x \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} -2*cos(x)*sin(x)\leq f'(x)\leq 2*cos(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich dann x=0 einsetze erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 0\leq f'(0)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Daraufhin bleibt ja nur noch übrig, dass auch $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Oder nicht?

08.01.2013, 20:04

hoernchen

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Ahh, jetzt verstehe ich es. Ich kann ja keine Funktion ableiten, von der ich nicht weiß, ob sie differenzierbar ist!

08.01.2013, 20:05

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Was für eine Ableitung? ... Von Differenzierbarkeit also keine Spur. Also kann man auch keine Ableitung "berechnen".

08.01.2013, 20:17

hoernchen

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Ich hab deine Antwort dann nochmal genau gelesen und es deshalb verstanden. Da habe ich einfach zu schnell geantwortet, ohne mir richtig Gedanken zu machen.

Also mache ich jetzt die beiden Fälle woraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} 0\leq \lim_{x \to 0+} \frac{f(x)}{x} \leq 0 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} 0\leq \lim_{x \to 0-} \frac{f(x)}{x} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Darf ich daraus nun schließen, dass f(x) differenzierbar ist? Da ja $\begin{eqnarray*} sin^{2} (x) \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} -sin^{2} (x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind und die Ableitungen davon, am Punkt x=0, 0 sind?

08.01.2013, 20:34

Leopold

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Was da steht, ist nicht falsch. Aber es fehlt ja der ganze Weg dahin. Da liegen einige Argumentationsschritte dazwischen.
Insofern ist dieser Beweis völlig unzulänglich.

08.01.2013, 20:52

hoernchen

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Die Zwischenschritte habe ich hier weggelassen und nur meine Resultate aufgeschrieben. Der Rest steht aber auf meinem Blatt.

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