Problem mit Reihe

08.01.2013, 22:21

NeoKortex

Problem mit Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (k+2)^{2} * (\frac{-1}{3}) ^{k} \end{eqnarray*}$

Folgende Reihe bereitet mir ein Problem.
Ich hab das Wurzelkriterium angewandt, komme aber nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 4 } * (\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 22:42

schultz

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was willst du denn zeigen? ich nehme an konvergenz. Deine Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ is schonmal keine Nullfolge, deshalb kann die Reihe garnicht konvergieren

08.01.2013, 22:49

NeoKortex

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ist es nicht
$\begin{eqnarray*} \infty * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

08.01.2013, 22:54

schultz

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achso, 3 übersehen, verzeihung.
Dann würde ich mit dem Leibnitzkriterium herangehen und schauen ob die folge monoton fallend ist, da du ja eine alternierende reihe hast

08.01.2013, 23:07

NeoKortex

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Ich habe eine alternierende Reihe?
Ich dachte alternierend wäre nur (-1)^k, gillt das also auch für (-1/x)^k mit x>0 ( Versuche mich gerade in Mathesprache auszudrücken Big Laugh

)

09.01.2013, 15:09

NeoKortex

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Kann ich die Reihe auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} * \frac{(k+2)^{2} }{3^{k} } \end{eqnarray*}$

Dann würde man sehen, dass Ak eine Nullfolge ist, die Reihe alterniert und monoton fällt.

09.01.2013, 15:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von NeoKortex
Ich hab das Wurzelkriterium angewandt, komme aber nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 4 } * (\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

Wo ist denn das Problem? Du mußt doch nur diesen Grenzwert bestimmen.
Alternativ geht auch das Quotientenkriterium.

Zitat:

Original von NeoKortex
ist es nicht
$\begin{eqnarray*} \infty * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Solch tolle Aussagen möchte ich hier nicht sehen. Mit dem Argument wäre ja auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$ . geschockt

09.01.2013, 15:18

NeoKortex

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Wie kann ich den diesen Grenzwert bestimmen?
Ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{4} = 1 \end{eqnarray*}$

und wenn ich ein mal hätte, dann könnte ich einfach jedes einzeln unter die Wurzel packen.
Aber bei einem plus geht das doch nicht?

ich kann doch nicht einfach sagen, dass der ganze Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich geht und man dadurch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ hat?

09.01.2013, 15:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von NeoKortex
Wie kann ich den diesen Grenzwert bestimmen?
Ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{4} = 1 \end{eqnarray*}$

Bitte drücke dich genau aus. Du meinst:

Ich weiß, dass die Grenzwerte von

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{4} = 1 \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Original von NeoKortex
ich kann doch nicht einfach sagen, dass der ganze Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich geht und man dadurch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ hat?

Deswegen wäre auch das Quotientenkriterium einfacher gewesen. smile

Zitat:

Original von NeoKortex
und wenn ich ein mal hätte, dann könnte ich einfach jedes einzeln unter die Wurzel packen.
Aber bei einem plus geht das doch nicht?

Dann besorgen wir uns eben eins:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^2} \leq \sqrt[k]{k^2 + 4k + 4 } \leq \sqrt[k]{k^2 + 4k^2 + 4k^2 } \end{eqnarray*}$

Jetzt bestimme mal den Grenzwert für den linken und den rechten Term. Augenzwinkern

09.01.2013, 15:46

NeoKortex

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ah ist das nicht das Sandwich-Theorem?

heißt es nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^2} \leq \sqrt[k]{k^2 + 4k + 4 } \leq \sqrt[k]{k^2 + k^2 + k^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} } = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^2 + k^2 + k^2 } = \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{3*k^{2} } = \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{3} * \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} } = 1 * 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 * \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

damit konvergiert die Reihe gegen 1/3 ?

09.01.2013, 16:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von NeoKortex
heißt es nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^2} \leq \sqrt[k]{k^2 + 4k + 4 } \leq \sqrt[k]{k^2 + k^2 + k^2 } \end{eqnarray*}$

Wieso? Was ist gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^2 + 4k + 4 } \leq \sqrt[k]{k^2 +4 k^2 + 4k^2 } \end{eqnarray*}$ einzuwenden?

Meine Ungleichung stimmt für jedes natürliche k, was bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^2 + 4k + 4 } \leq \sqrt[k]{k^2 + k^2 + k^2 } \end{eqnarray*}$ nicht der Fall ist.

09.01.2013, 16:19

NeoKortex

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Achso, ich dachte immer man nehme die höchste Potenz.

würde das stimmen? $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 3 } \leq \sqrt[k]{k^{2} + 4k^{2} + 3k^{2} } \end{eqnarray*}$

oder nimmt man dann auch eine 4 statt einer 3?

Ist das dann die Lösung?
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} } = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^2 +4 k^2 + 4k^2 } = \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{k^{2} * ( 1 + 4 + 4 ) } =<br /> \lim_{k \to \infty } 1 * \sqrt[k]{9} = 1*1 = 1 \end{eqnarray*}$

Ahja und Lösung ist dann 1 * 1/3 = 1/3

10.01.2013, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von NeoKortex
würde das stimmen? $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 3 } \leq \sqrt[k]{k^{2} + 4k^{2} + 3k^{2} } \end{eqnarray*}$

Natürlich stimmt diese Ungleichung, nur was willst du damit? Du hattest doch ursprünglich $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 4} \end{eqnarray*}$ .

Nebenbei: wenn man mal auf die Herkunft schaut, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^{2} + 4k + 4} = (\sqrt[k]{k + 2})^2 \end{eqnarray*}$ . Und daß $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k + 2} = 1 \end{eqnarray*}$ ist, ergibt sich sofort.

10.01.2013, 09:26

NeoKortex

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yo, da hast du Recht. Danke dir smile

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