Substitution

08.01.2013, 23:33

sab1

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Substitution

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

Für tipps wäre ich dankbar .

Ich hätte getipt das man mit x oder so substituiert aber das hilft leider nicht.

Meine Ideen:
keine

09.01.2013, 00:29

Lamiah

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Ich sehe einen Weg über Partialbruchzerlegung und dann Partielle Integration. Das ist aber ein bisschen umständlich. Es gibt bestimmt elegantere Wege.

09.01.2013, 00:35

sab1

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Die frage ist wie ich hier partialbruchzerlegung mache ?

Die nullstellen von

e^2x - 3e^x

Wie kriege ich die raus?

09.01.2013, 00:37

Lamiah

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Substituiere $\begin{eqnarray*} u:= e^x \end{eqnarray*}$ . Dann hast Du eine einfache quadratische Gleichung.

09.01.2013, 01:00

original

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Zitat:

Original von Lamiah
Ich sehe einen Weg über Partialbruchzerlegung und dann Partielle Integration.
.

smile

...die Idee mit der Partialbruchzerlegung scheint mir sehr gut .. Partielle Integration wird dann anschliessend aber nicht gefragt sein

also: bestimme zuerst A und B aus dem Absatz: ->

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}-3e^{x} } = \frac{A}{e^{x} } + \frac{B}{e^{x} -3} \end{eqnarray*}$

dann hast du zwei einfach zu integrierende Summanden..

noch ein Tipp zum zweiten Summanden:

einen Bruch der Form : -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x} -3} \end{eqnarray*}$

kann man auch so darstellen: -> $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x} }{1 -3e^{-x} } \end{eqnarray*}$

und dann sieht man eine mögliche Stammfunktion sicher schon von Weitem?

Wink

Wink

09.01.2013, 13:47

sab1

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Mein Ansatz wäre so:

u^2 - 3u = 0

u1 = 0

u2 = 3

Partilbruch:

u^2 -3u = A/u + B/ x-3

Wäre das der richtige Partialbruch?

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09.01.2013, 13:51

Lamiah

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Sorry, man sieht die Faktorzerlegung sofort: $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 3e^x = e^x (e^x -3) \end{eqnarray*}$

09.01.2013, 13:52

sab1

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Was meinst du genau ?

Bin ich falsch vorgegangen oder wie?

09.01.2013, 13:54

Lamiah

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Nein, ist trotzdem richtig, nur ein bisschen umständlich. Der Anatz für PBZ: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x(e^x-3)} \overset{!}{=} \frac{A}{e^x} + \frac{B}{e^x-3} \end{eqnarray*}$

09.01.2013, 14:04

sab1

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Ist mein Ansatz richtig?

09.01.2013, 14:07

Lamiah

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Nein, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x(e^x-3)} \overset{!}{=} \frac{A}{e^x} + \frac{B}{e^x-3} \end{eqnarray*}$ Den rechten Ausdruck auf einen Nenner bringen und dann Koeffizientenvergleich.

09.01.2013, 14:12

sab1

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Das müsste doch dann so aussehen:

(1/ e^x*(e^x -3) ) = A*(e^x -3) + B*( e^x) /(e^x*(e^x -3) )

So müsste mein Ansatz stimmen oder?

09.01.2013, 14:15

HAL 9000

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Es ist zwar nicht unbedingt vorgeschrieben, aber üblicher wäre erst Substitution $\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$ und dann anschließend die nötige PBZ - schließlich ändert die Substitution ja den Integranden strukturell:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^{2x}-3e^x} ~ \dd x = \int \frac{1}{u^2(u-3)} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ als Faktor im Nenner.

09.01.2013, 14:16

sab1

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Soll ich also jetzt mit u die Partialbruchzerlegung machen?

09.01.2013, 14:27

original

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smile

... also nochmal:
ganz ohne Substitution schlicht zuerst den Integranden anders darstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}-3e^{x} } = \frac{A}{e^{x} } + \frac{B}{e^{x} -3} \end{eqnarray*}$

bestimme die beiden Konstanten A und B
(so wie Lamiah oben notierte: "Den rechten Ausdruck auf einen Nenner bringen und dann Koeffizientenvergleich. ")

und dann bist du im Prinzip fertig, denn die beiden Integrale, die dann zu berechnen sind, sind trivial :
-> direkt lösbar.. (Tipp siehe oben)

Wink

Wink

09.01.2013, 14:27

sab1

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Das müsste doch dann so aussehen:

(1/ u^2*(u-3) ) = A*(u-3) + B*( u^2) /(e^x*(e^x -3) )

So müsste mein Ansatz stimmen oder?

09.01.2013, 14:31

original

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.

geschockt

... siehe Beitrag 14:27
.

09.01.2013, 14:34

sab1

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Das habe ich hier gemacht:

Das müsste doch dann so aussehen:

(1/ e^x*(e^x -3) ) = A*(e^x -3) + B*( e^x) /(e^x*(e^x -3) )

Jetzt Koeffizientenvergleich oder?

09.01.2013, 14:38

original

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Zitat:

Original von sab1

(1/ e^x*(e^x -3) ) = [ A*(e^x -3) + B*( e^x) ] /(e^x*(e^x -3) )

Jetzt Koeffizientenvergleich oder?

.
ja
.. aber vorher kannst du dir überlegen, warum es ohne die roten Klammern falsch ist Big Laugh

Big Laugh

.

09.01.2013, 14:43

sab1

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Mein nächster schritt sieht so aus:

Ist der richtig?

09.01.2013, 15:16

original

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}-3e^{x} } = \frac{A\cdot (e^{x} -3) + B\cdot e^{x} }{e^{x} \cdot (e^{x} -3)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sab1
Mein nächster schritt sieht so aus:

Ist der richtig?

unglücklich

Nein - die Nenner sind links und rechts doch schon gleich

jetzt solltest du die beiden Zähler übereinstimmend haben
und aus dem daraus folgenden Ansatz kannst du die Zahlenwerte
für A und B ermitteln - in welche Klasse gehst du?

09.01.2013, 15:21

sab1

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Mit was multipliziere ich dann den rechten Zähler?

09.01.2013, 15:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von original
ganz ohne Substitution schlicht zuerst den Integranden anders darstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}-3e^{x} } = \frac{A}{e^{x} } + \frac{B}{e^{x} -3} \end{eqnarray*}$

[...]

und dann bist du im Prinzip fertig, denn die beiden Integrale, die dann zu berechnen sind, sind trivial

Ich hab so meine Zweifel bei der Aussage, dass

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-3} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

für einen Ungeübten einfach (ohne Substitution?) berechenbar ist. Aber ich werde es gespannt beobachten, wenn es soweit ist.

09.01.2013, 15:27

Sab1

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Kann mir jemand von euch sagen wie ich weiter Vorgehen soll?

09.01.2013, 15:29

original

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Zitat:

Original von sab1
Mit was multipliziere ich dann den rechten Zähler?

traurig

$\begin{eqnarray*} 1 = (A+B)\cdot e^{x} -3\cdot A \end{eqnarray*}$

wie musst du A und B wählen, damit diese Gleichung für alle x aus R gilt ?

.

09.01.2013, 15:43

Sab1

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Wieso steht auf einmal auf der linken Seite 1

Mein LGs würde so aussehen:

A+ B =e^2x

-3A = -3

09.01.2013, 15:54

original

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Zitat:

Original von Sab1
Wieso steht auf einmal auf der linken Seite 1

Mein LGs würde so aussehen:

A+ B =e^2x

-3A = -3

Prost

da ich nun einfach niedergeschmettert aufgebe, wird sicher HAL 9000 mit
Vergnügen weitermachen

und HAL 9000,

da du also jetzt nicht mehr " gespannt beobachten kannst, wenn es soweit ist..."
hier noch der Tipp:
lies einfach , was schon längst geschrieben wurde (->Heute, 01:00 ) Wink

Wink

da steht der Tipp ...
und du wirst ihn vielleicht verstehen?

09.01.2013, 16:08

Lamiah

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Zitat:

Original von original
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2x}-3e^{x} } = \frac{A\cdot (e^{x} -3) + B\cdot e^{x} }{e^{x} \cdot (e^{x} -3)} \end{eqnarray*}$

Die beiden Nenner sind ja offenbar gleich. Deswegen betrachten wir jetzt nur noch den Zähler: $\begin{eqnarray*} 1 = A(e^x-3) +Be^x = Ae^x-3A +B e^x = (A+B)e^x -3A \end{eqnarray*}$ .
Also soll: $\begin{eqnarray*} 1= 0e^x + 1 \overset{!}{=} (A+B)e^x -3A \end{eqnarray*}$
Kommst Du mit?

09.01.2013, 19:10

sab1

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Ich glaub zuerst musst du mir erklären wie du auf den Zähler vom Partialbruch kommst?

Weil das verstehe ich nicht so genau.

09.01.2013, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von original
und du wirst ihn vielleicht verstehen?

Vielen Dank für das "vielleicht". Finger2

Finger2

Trotzdem kein Weg, den ich empfehlen würde: Partialbruchzerlegung von Exponentialtermen, und dann für jeden Summand einzeln eine Quasi-Substitution? unglücklich

unglücklich

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