Satz von der dominierten Konvergenz anwendbar?

08.01.2013, 23:38

Twixx

Satz von der dominierten Konvergenz anwendbar?

Hallo zusammen,

die Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

Beweise oder widerlege:
Ist $\begin{eqnarray*} (f_k)_k \end{eqnarray*}$ eine punktweise konvergente Folge integrierbarer Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit einer beschränkten Grenzfunktion f und ist $\begin{eqnarray*} \int f_k(x)dx=1 \end{eqnarray*}$ für alle k, so ist auch f integrierbar.

Zum Beweis würde ich einen Satz heranziehen, der in meinem Skript als Variante des Satzes über dominierte Konvergenz bezeichnet wird. Er besagt: Wenn die fast-überall-Grenzfunktion f integrierbarer Funktionen $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ durch eine integrierbare Funktion g beschränkt ist, dann ist diese Grenzfunktion f auch integrierbar.

Die Grenzfunktion ist ja in diesem Fall nach Voraussetzung beschränkt, also müsste ich den Satz doch anwenden können und die Integrierbarkeit von f erhalten, oder? Dabei habe ich nun allerdings gar nicht verwendet, dass $\begin{eqnarray*} \int f_k(x)dx=1 \end{eqnarray*}$ für alle k ist. Habe ich was falsch gemacht?

08.01.2013, 23:55

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RE: Satz von der dominierten Konvergenz anwendbar?
Beachte, dass g beschränkt und integrierbar sein muss. Du kannst also nicht f=g verwenden, weil f nur beschränkt ist. Die Integrierbarkeit sollst du gerade zeigen.

09.01.2013, 00:04

Twixx

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Ah, ich hatte irgendwie gedacht, dass eine konstante Funktion ja sicherlich Lebesgue-integrierbar ist und man daher g einfach auf eine Konstante, die f beschränkt, setzen kann. Aber konstante Funktionen sind natürlich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht Lebesgue-integrierbar... ich werde morgen nochmal drüber nachdenken.

Danke für deine Antwort, URL.

10.01.2013, 01:11

Twixx

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Hallo zusammen,

ich hätte einen neuen Lösungansatz:

Da f beschränkt ist, kann man o.B.d.A. annehmen, dass auch schon $\begin{eqnarray*} (f_k)_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist (ab einem gewissen Index liegen die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ "nahe" bei f und f ist beschränkt).
Nun kann man eine monotone Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (f_k)_k \end{eqnarray*}$ konstruieren (wie genau steht zB hier: math.uni-sb. de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node60.html, Lemma 2.7.6; ist zwar nur für reelle Folgen bewiesen, aber eigentlich sollte man das auch auf Funktionenfolgen übertragen können).
O.B.d.A. kann man annehmen, dass man eine monoton steigende Teilfolge hat. Dann kann man den Satz von Levi anwenden und erhält eine integrierbare Funktion f*, gegen die diese monoton steigende Teilfolge fast überall konvergiert. Also gilt f=f* fast überall, also ist f integrierbar.

10.01.2013, 01:23

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Müssen die f_k nichtnegativ sein? Oder ist $\begin{eqnarray*} \int |f_k(x)|dx=1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt?

10.01.2013, 02:21

Twixx

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Weder das eine noch das andere ist vorausgesetzt, wieso?

10.01.2013, 08:01

Che Netzer

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Ihr scheint zu übersehen, dass in der Aufgabe "Beweise oder widerlege" steht.

Jedenfalls kann man den Satz von der dominierten Konvergenz hier nicht anwenden, d.h. die Integrale müssen nicht konvergieren. Gegenbeispiel liefern die Inidkatorfunktionen auf $\begin{eqnarray*} [k,k+1] \end{eqnarray*}$ .
Wären die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ nichtnegativ, würde die Aussage mit dem Lemma von Fatou folgen.
Vielleicht hilft das beim Suchen eines Gegenbeispiels.

Und man kann keineswegs annehmen, dass die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ beschränkt sind.
Man kann obige Funktionen mit $\begin{eqnarray*} \frac1{(x-k)^2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren und entsprechend normieren.

Aus Funktionenfolgen kann man allerdings auch keine monotonen Folgen auswählen.
Das Gegenbeispiel sind wieder obige Indikatorfunktionen. Die Monotonie soll ja punktweise (f.ü.) gelten.

10.01.2013, 12:44

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Deshalb fragte ich nach den zusätzlichen Voraussetzungen. Sonst kann man in der Tat eine Folge finden, für die f=1 und damit nicht integrierber ist.

10.01.2013, 14:31

Che Netzer

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Das würde dann ja der Aufgabenstellung entsprechen...
Mit $\begin{eqnarray*} \lvert f\rvert\equiv1 \end{eqnarray*}$ ist es aber wesentlich leichter als mit $\begin{eqnarray*} f\equiv1 \end{eqnarray*}$ .

10.01.2013, 14:49

Twixx

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Ich hab mal versucht, ein Gegenbeispiel zu finden und bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} f_k(x):=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_k(x):=-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k < x \leq 2k-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_k(x):=0 \end{eqnarray*}$ sonst. Dann ist $\begin{eqnarray*} \int f_k(x)dx=1 \end{eqnarray*}$ für alle k und die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ konvergieren punktweise gegen die charakteristische Funktion auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Diese ist offensichtlich nicht integrierbar.

Richtig?

10.01.2013, 14:55

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so habe ich es auch gemacht

10.01.2013, 18:36

Twixx

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Danke euch beiden für eure Hilfe. smile

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