DGL mittels Fundamentalsystem angeben

08.01.2013, 22:38

HansimGlück

DGL mittels Fundamentalsystem angeben

Hallo!

[attach]27727[/attach]

Wie erhalte ich aus dem Fundamentalsystem die zugehörige Differentialgleichung?

Bisher bin ich lediglich auf Aufgabenstellungen gestoßen, bei denen mit gegebener DGL, das zugehörige Fundamentalsystem zu bestimmen war.

Wäre über Anleitung sehr dankbar, danke!

09.01.2013, 08:47

HansimGlück

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Hätte jemand einen Tipp?

09.01.2013, 11:05

Huggy

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Der Typ der DGL sollte klar sein. Da man nur eine Variable hat, aber 4 Fundamentallösungen, braucht man eine lineare DGL 4. Ordnung in einer Variablen:

$\begin{eqnarray*} y^{(4)}-a_3(x)y^{(3)}-a_2(x)y''-a_1(x)y'-a_0(x)=0 \end{eqnarray*}$

Fundamentallösungen sind schwer zu finden, wenn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i(x) \end{eqnarray*}$ tatsächlich von x abhängen. Man sollte also nach einer DGL mit konstanten Koeffizienten suchen. Dann ergeben sich die Fundamentallösungen aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

$\begin{eqnarray*} \lambda^4-a_3\lambda^3-a_2\lambda^2-a_1\lambda-a_0=0 \end{eqnarray*}$

Da man die Fundamentallösungen kennt, ergeben sich durch eine Rückwärtsanalyse die Nullstellen des charakteristichen Polynoms und daraus die Koeffzienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ .

09.01.2013, 12:39

HansimGlück

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Sorry, mit der Rückwärtsanalyse komme ich nicht klar. Wie soll das funktionieren?

09.01.2013, 13:07

Huggy

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Wenn das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P(\lambda) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheit n hat, dann resultieren aus dieser Nullstelle n wohldefinierte Fundamentallösungen. Wie lauten diese?

Nun wende das Ergebnis im ersten Schritt auf die beiden Fundamentalösungen y(x) = 1 und y(x) = x an. Was folgt?

09.01.2013, 13:13

HansimGlück

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^x , xe^x , .... , x^{n-1}e^x \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Huggy
Wenn das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P(\lambda) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheit n hat, dann resultieren aus dieser Nullstelle n wohldefinierte Fundamentallösungen. Wie lauten diese?

Nun wende das Ergebnis im ersten Schritt auf die beiden Fundamentalösungen y(x) = 1 und y(x) = x an. Was folgt?

Kann dir leider nicht folgen.

09.01.2013, 13:22

Huggy

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Zitat:

Original von HansimGlück

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^x , xe^x , .... , x^{n-1}e^x \end{eqnarray*}$ ?

Das ist nicht ganz richtig! In deinen angeblichen Fundamentallösungen taucht doch die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ gar nicht auf! Schlag das noch mal nach.

Wie lauten die zur Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheit n gehörenden Fundamentallösungen korrekt?

09.01.2013, 13:28

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} e^{\lambda_m x} , xe^{\lambda_m x} , .... , x^{n-1}e^{\lambda_m x} \end{eqnarray*}$

so?

09.01.2013, 13:35

Huggy

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Jetzt ist es richtig!
Was kann man nun aus den beiden Fundamentallösungen y(x) = 1 und y(x) =x für $\begin{eqnarray*} \lambda_m \end{eqnarray*}$ schließen?

09.01.2013, 13:41

HansimGlück

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Dass 0 eine (2-fache) Nullstelle ist?

09.01.2013, 13:46

Huggy

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Richtig!

Bevor wir weitermachen, solltest du jetzt mal aufschreiben, welche Form das charakteristische Polynom und die DGL aufgrund diesen Schlusses hat.

09.01.2013, 13:54

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} y'''' \pm y''=f(x) \end{eqnarray*}$

Mein Gedankengang:
$\begin{eqnarray*} y^4 \pm y^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2(y^2 \pm 1)=0 \end{eqnarray*}$
==>
$\begin{eqnarray*} y^2=0 \end{eqnarray*}$ Womit die 2-fache Nullstelle bei 0 gegeben wäre.

09.01.2013, 14:22

Huggy

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Das geht nun zu schnell. Da hast du mehr geraten als gefolgert. Und du vermengst auch von der Bezeichnung her die DGL und das charakterische Polynom. In der DGL haben wir die abhängige Variable y. Im charakterischen Polynom haben wir die Variable $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Auch sollte sich als Ergebnis nur eine DGL ergeben. Du hast wegen $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 2 DGLs. Und was soll dein f(x) sein?

Man kann schließen, dass man aus dem charakteristischen Pokynom den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern kann. Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} a_0=a_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\lambda)=\lambda^2(\lambda^2-a_3\lambda -a_2)=0 \end{eqnarray*}$

Die weiteren Nullstellen des charakteristischen Polynoms ergeben sich also aus:

$\begin{eqnarray*} P(\lambda)=\lambda^2-a_3\lambda -a_2=0 \end{eqnarray*}$

Was kann man nun präzise aus den Fundamentalösungen y(x) = sin(x) und y(x) = cos(x) für die Nullstellen der letzten Gleichung schließen? Und was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2013, 14:53

HansimGlück

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Zumindest lag mich mit dem Ausklammern von $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ richtig ... geschockt

Zitat:

Original von Huggy
Was kann man nun präzise aus den Fundamentalösungen y(x) = sin(x) und y(x) = cos(x) für die Nullstellen der letzten Gleichung schließen? Und was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_4=-i \end{eqnarray*}$
?

Die Koeffizienten a_2 und a_3 sind gleich 1?

09.01.2013, 15:17

Huggy

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Die beiden weiteren Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm i \end{eqnarray*}$ hast du richtig geraten. Hättest du präzise gefolgert, wärst du nicht auf den Fehlschluss $\begin{eqnarray*} a_2=a_3 =1 \end{eqnarray*}$ verfallen. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} a_3 = 0 \quad a_2 =-1 \end{eqnarray*}$

Dabei hängt das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ davon ab, wie man die DGL schreibt. Ich beziehe mich auf meine obige Schreibweise. Die DGL lautet also:

$\begin{eqnarray*} y^{(4)}+y''=0 \end{eqnarray*}$

Da ich frühestens morgen wieder im Board bin, habe ich dir die korrekte Lösung genannt. Falls du weitere Fragen hast, hilft dir sicher sonst jemand weiter.

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