Taylorentwicklung

09.01.2013, 00:16

Alexandra Ardanex

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Taylorentwicklung

Meine Frage:
Hallooo. Eine erneute Tayloraufgabe.
Finden Sie ein Polynom dritten Grades p(x), dass die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0}=4 \end{eqnarray*}$ annähert. $\begin{eqnarray*} (f(4)=p(4).) \end{eqnarray*}$ Wie groß ist die Abweichung der Näherungsfunktion p von der Orginalfunktion f am Punkt x=1?

Meine Ideen:
Zuerst muss ich dann wohl die Wurzelfunktion um den Punkt 4 entwickeln ? Bzw. annähern? Und dann vergleiche ich $\begin{eqnarray*} (f(4)=p(4).) \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2013, 01:28

Alexandra Ardanex

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Ist mein Weg der richtige ?

Also die Taylorentwicklung so zu machen ?

Nach [Artikel] Taylorapproximation

09.01.2013, 10:13

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} } \Rightarrow f(4)=2<br /> <br /> f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } \Rightarrow f'(4)=\frac{1}{4} <br /> <br /> f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2} } \Rightarrow f''(4)=-\frac{1}{32} <br /> <br /> f'''(x)=\frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2} } \Rightarrow f'''(4)=\frac{3}{256} <br /> <br /> f''''(x)=-\frac{15}{16}x^{-\frac{7}{2} } \Rightarrow f''''(4)=-\frac{15}{2048} \end{eqnarray*}$

Und einsetzen in die Taylorformel ?

09.01.2013, 10:21

Mystic

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Ja, erstens Einsetzen in die Formel für Taylorpolynom vom Grad 3 mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=4 \end{eqnarray*}$ und zweitens in die Formel für das entsprechende Restglied, welche man dann für eine Fehlerabschätzung nutzen kann...

09.01.2013, 10:24

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Mystic
und zweitens in die Formel für das entsprechende Restglied, welche man dann für eine Fehlerabschätzung nutzen kann...

Das erste ist mir klar, aber die FOrmel für das entsprechende Restglied ?

09.01.2013, 10:37

Mystic

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$\begin{eqnarray*} R_3=\frac {f^{(IV)}(\xi)}{4!}(x-4)^4 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ irgendwo zwischen 4 und x liegt...

Du musst dir hier überlegen, welchen größten Wert hier $\begin{eqnarray*} |R_3| \end{eqnarray*}$ hier für x=1 annehmen kann, denn das ist dann zugleich eine Schranke für den Absolutfehler den man begeht, wenn man anstelle von f(1) exakt auszurechnen den Wert x=1 einfach in das Taylorpolynom vom Grad 3 einsetzt...

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09.01.2013, 11:27

Dopap

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RE: Taylorentwicklung

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
... Wie groß ist die Abweichung der Näherungsfunktion p von der Orginalfunktion f am Punkt x=1?

Meine Ideen:
Zuerst muss ich dann wohl die Wurzelfunktion um den Punkt 4 entwickeln ? Bzw. annähern? Und dann vergleiche ich $\begin{eqnarray*} (f(4)=p(4).) \end{eqnarray*}$ ?

nein, $\begin{eqnarray*} |f(1)-p(1)| \end{eqnarray*}$

Das wäre die Lösung im Sinne der Aufgabe.

Mystik geht jetzt einen Schritt weiter: mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\frac {f^{(4)}(\xi)}{4!}(1-4)^4| \end{eqnarray*}$ nach oben mit $\begin{eqnarray*} 1<\xi<4 \end{eqnarray*}$ kann man den maximalen Fehler bei x=1 bestimmen ohne die Funktion zu verwenden.
--------------------------------

Dies nur zur Erläuterung, da ich mit dem Fragesteller schon einen ziemlich langen Thread mit Taylor im Mehrdimensionalen hatte. Restglied wurde nicht angesprochen.
Viel Erfolg weiterhin!

11.01.2013, 14:21

Alexandra Ardanex

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Und einsetzen in die Taylorformel
$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+(\frac{1}{4}x-1)+(-\frac{1}{64}x^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}+(\frac{1}{256}x^3-12x^3\frac{1}{256}+48x\frac{1}{256}-64\frac{1}{256}) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt ? Den zweiten Teil verstehe ich nicht so wirklich mit der Abweichung.

11.01.2013, 23:19

Alexandra Ardanex

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Wäre nett wenn mal jemand drüber schauen könnte, wäre sehr dankbar.

12.01.2013, 01:32

Dopap

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was rechnest du denn da? ganz schlicht:

$\begin{eqnarray*} T_3(x) = \sum_{k=0}^3 {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac {1}{512} (x-4)^3 \end{eqnarray*}$

für x wird nix eingesetzt, das ist die Polynomvariable. Das war es schon.

---------------------------------

Es sei denn, man möchte die Normaldarstellung eines Polynoms haben. Das ist lästig, man muss die Potenzen auflösen und zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} T_3(x)=\frac {5}{8}+ \frac {15}{32}x-\frac {5}{128}x^2+\frac {1}{512}x^3 \end{eqnarray*}$

exakter Fehler an der Stelle x=1: $\begin{eqnarray*} \Delta= T_3(1)-\sqrt 1=... \end{eqnarray*}$

12.01.2013, 12:39

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap
was rechnest du denn da?

Man kann doch die binomischen Formel ausmultiplizieren, das habe ich gemacht... ? verwirrt

verwirrt

Ich habe nichts für x eingesetzt.

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} T_3(x) = \sum_{k=0}^3 {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac {1}{512} (x-4)^3 \end{eqnarray*}$

für x wird nix eingesetzt, das ist die Polynomvariable. Das war es schon.

Man kann es also so stehen lassen und muss es nicht ausmuliplizieren ?

Zitat:

Original von Dopap
exakter Fehler an der Stelle x=1: $\begin{eqnarray*} \Delta= T_3(1)-\sqrt 1=... \end{eqnarray*}$

"Wie groß ist die Abweichung der Näherungsfunktion p von der Orginalfunktion f am Punkt x=1?" Das heißt doch man setzt für die Funktion 1 ein und für unsere Taylorreihe 1 ein und subrahiert es voneinander (also wie im Zitat?) bis wie vielter Ordnung denn ? Dritter dann auch wahrscheinlich, oder?

12.01.2013, 15:09

Dopap

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Ich schrieb doch:

$\begin{eqnarray*} \Delta= T_{\color{red}3}(1)-\sqrt 1=... \end{eqnarray*}$ [/quote]

du solltest doch $\begin{eqnarray*} T_3(x) \end{eqnarray*}$ berechnen, dann nimm es auch.

12.01.2013, 18:06

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} T_3(x) = \sum_{k=0}^3 {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac {1}{512} (x-4)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_3(x)=\frac {5}{8}+ \frac {15}{32}x-\frac {5}{128}x^2+\frac {1}{512}x^3 \end{eqnarray*}$

Das kann doch nicht stimmen wo ist es denn nach $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{eqnarray*}$ zweite Binomische Formel (Minus-Formel) ausmultipliziert ?

12.01.2013, 23:12

Dopap

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Ich habe nur das Endergebnis hingeschrieben. Das soll der Kontrolle dienen. Zwischenschritte sind selbstredend weggelassen worden.

12.01.2013, 23:29

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Und einsetzen in die Taylorformel
$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+(\frac{1}{4}x-1)+(-\frac{1}{64}x^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}+(\frac{1}{256}x^3-12x^3\frac{1}{256}+48x\frac{1}{256}-64\frac{1}{256}) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt ?

Ja ? Nein ? Jedenfalls komme ich nicht zu deiner Darstellung verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Dopap
was rechnest du denn da? ganz schlicht:

$\begin{eqnarray*} T_3(x) = \sum_{k=0}^3 {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2 + \frac {1}{512} (x-4)^3 \end{eqnarray*}$

für x wird nix eingesetzt, das ist die Polynomvariable. Das war es schon.

---------------------------------

Es sei denn, man möchte die Normaldarstellung eines Polynoms haben. Das ist lästig, man muss die Potenzen auflösen und zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} T_3(x)=\frac {5}{8}+ \frac {15}{32}x-\frac {5}{128}x^2+\frac {1}{512}x^3 \end{eqnarray*}$
[/latex]

13.01.2013, 01:45

Dopap

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Ich kann keinen Fehler in meiner Umrechnung finden.

und zur Erinnerung: $\begin{eqnarray*} (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{eqnarray*}$

und dein

$\begin{eqnarray*} T_3(x)=2+(\frac{1}{4}x-1)+(-\frac{1}{64}x^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}+(\frac{1}{256}x^3-12x^3\frac{1}{256}+48x\frac{1}{256}-64\frac{1}{256}) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={\color {red}\frac 12 +\frac {9}{16}x-\frac {1}{64}x^2-\frac {11}{256}x^3} \end{eqnarray*}$

13.01.2013, 03:10

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} T_3(x)=\frac {5}{8}+ \frac {15}{32}x-\frac {5}{128}x^2+\frac {1}{512}x^3 \end{eqnarray*}$

exakter Fehler an der Stelle x=1: $\begin{eqnarray*} \Delta= T_3(1)-\sqrt 1=... \end{eqnarray*}$

Oki ich habe meinen Fehler reguliert und komme nun auf die oben angegebene Taylorreihe.

Und der exakte Fehler beträgt:

$\begin{eqnarray*} \Delta= T_3(1)-\sqrt 1=\frac{541}{512}-1=\frac{29}{512} \end{eqnarray*}$

Und somit wäre die Aufgabe erledigt ?

13.01.2013, 06:19

Dopap

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richtig. In Numerik würde ich noch ein $\begin{eqnarray*} \approx 0.05664 \end{eqnarray*}$ dranhängen. Der relative Fehler wäre dann 5.66%.

Ja, das war es dann mit der Aufgabe. smile

smile

13.01.2013, 11:52

Alexandra Ardanex

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Schön

smile

dann bedanke ich mich recht herzlich Gott

Gott

dankeschön Augenzwinkern

Augenzwinkern

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