Grenzwert einer geometrischen Folge bestimmen

09.01.2013, 00:29

DancingTheDream

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Grenzwert einer geometrischen Folge bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
Habe folgende Aufgabe und möchte wissen, ob meine Lösung stimmt.

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis habe ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So habe ich gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}}*4^{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-16^{\frac{n}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-\sqrt{16^{n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{\sqrt{16^{n}}}*\frac{1+2^{-n}}{3-\sqrt{16^{-n}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{\sqrt{16}})^{n}*\frac{1+(\frac{1}{2})^{n}}{3-\sqrt{\frac{1}{16}^{n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}}=0*\frac{1+0}{3-0}=0 \end{eqnarray*}$

Danke für eure Hilfe!

09.01.2013, 00:50

Kasen75

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Hallo,

bis hierhin gehe ich mit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}}*4^{1}} \end{eqnarray*}$

Dass du die 4 herausgelöst hast, war eine gute Idee. Jetzt kannst du aber nicht einfach die 4 nehmen und mit der Basis multiplizieren. Warum kannst du dir mal selber überlegen.

Besser ist es die Basis dieses Ausdrucks $\begin{eqnarray*} 4^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ zur 2-er Basis umzuformen. Der Exponent ändert sich dementsprechend.

Grüße.

09.01.2013, 00:53

DancingTheDream

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Achso stimmt, weil der Exponent n/2 ja die Basis 4 noch verändert. Aber was mache ich dann mit der anderen 4?

09.01.2013, 00:58

DancingTheDream

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Wie formt man zur 2-er Basis um?

09.01.2013, 01:09

Kasen75

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Die 4 die alleine steht lässt du so stehen.

Es gilt folgende Potenzregel (angepasst):

$\begin{eqnarray*} \Bigg( a^2 \Bigg)^{\frac{n}{2}}=a^n \end{eqnarray*}$

09.01.2013, 02:10

DancingTheDream

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Dann erhalte ich als Ergebnis 1/3, stimmt das?
Falls nicht, werde ich meinen Rechenweg noch aufführen.

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09.01.2013, 02:33

Kasen75

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Es könnte gut sein, dass du auf dem richtigen Weg bist, auch wenn das numerische Endergebnis nicht richtig ist. Du hast wahrscheinlich nur die falschen Zahlen bzw. Ausdrücke als die dominierenden Zahlen bzw. Ausdrücke betrachtet.
Deswegen ist es in der Tat gut, wenn du deinen Rechenweg darlegst.

09.01.2013, 10:26

DancingTheDream

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$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}}*4^{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-(2^{2})^{\frac{n}{2}}*4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-2^{n}*4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{2^{n}}*\frac{1+2^{-n}}{3-2^{-n}*4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{2})^{n}*\frac{1+(\frac{1}{2})^{n}}{3-(\frac{1}{2})^{n}*4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{1+2^{n}}{3-4^{\frac{n}{2}+1}})=1*\frac{1+0}{3-0*4}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

09.01.2013, 10:46

Kasen75

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Hallo,

du bist eigentlich hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{1+2^{n}}{3-2^{n}*4} \end{eqnarray*}$ schon fertig. Du kannst den Bruch noch auseinanderziehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3-2^{n}*4}+\frac{2^{n}}{3-2^{n}*4}= \ldots \end{eqnarray*}$

Der Einfluss der 3 im Nenner ist bei der Grenzwertbetrachtung so klein, dass er vernachlässigbar ist.
Wohin konvergiert denn der erste Bruch bzw. der zweite Bruch für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ?
Wenn du es nicht siehst, dann kannst du ja mal für n eine größere Zahl einsetzen.

09.01.2013, 10:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kasen75
Der Einfluss der 3 im Nenner ist bei der Grenzwertbetrachtung so klein, dass er vernachlässigbar ist.

Das sind so Sätze, die ich der Grenzwertbildung gar nicht gerne sehe. Besser ist es, solche Überlegungen auch mathematisch zu untermauern, wie es DancingTheDream in seiner (leider fehlerhaften) Rechnung tun wollte.

Zitat:

Original von DancingTheDream
$\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-2^{n}*4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{2^{n}}*\frac{1+2^{-n}}{3-2^{-n}*4} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist beim unteren Term was schief gelaufen, was du auch leicht feststellst, wenn du mal rückwärts rechnest. Wenn du das korrigierst, kommst du auch zu dem richtigen Ergebnis. Es wäre auch schon, wenn du zwischen den Termen ein Gleichheitszeichen setzst, damit man sieht, was eigentlich gesagt werden soll.

09.01.2013, 10:55

DancingTheDream

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Der erste Bruch gegen 0 und der zweite gegen -1/4

09.01.2013, 11:01

DancingTheDream

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@klarsoweit:
Ja so wollte ich es auch machen, rechnerisch.
Muss man die *4 mit ausklammern?

09.01.2013, 11:06

klarsoweit

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Nein. Rechne doch mal rückwärts. Kommst du dann wieder auf den oberen Term? Welche Korrekturen mußt du also anbringen?

09.01.2013, 11:09

DancingTheDream

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Hm, ich kann nichts falsches erkennen...

09.01.2013, 11:19

klarsoweit

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Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{2^{n}}*\frac{1+2^{-n}}{3-2^{-n}*4} = \frac{2^n+1}{3 \cdot 2^n - 4} \end{eqnarray*}$ .

Und das ist im Nenner nicht gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-2^{n}*4} \end{eqnarray*}$ .

09.01.2013, 11:26

DancingTheDream

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Achso okay, also muss man im Nenner anders ausklammern? Aber wie?

09.01.2013, 11:31

klarsoweit

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Beim Ausklammern mußt du doch nur jeden Summanden durch den Term dividieren, den du ausklammern willst (in diesem Fall 2^n). Man fragt sich, wie du das beim Zähler gemacht hast. Anscheinend ein zufälliger Glücksgriff. smile

smile

Wenn wir das mal ordentlich machen, erhalten wir: $\begin{eqnarray*} \frac{1+2^{n}}{3-2^{n}*4} = \frac{2^{n}}{2^{n}} \cdot \frac{2^{-n} + 1}{3 \cdot 2^{-n} - 4} \end{eqnarray*}$

Und jetzt klappt es auch mit der Rückwärtsrechnung. Also war doch gar nicht so schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2013, 11:36

DancingTheDream

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Aaaach jetzt hab ichs geschnallt!

Dankeschön (:

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