gleichmäßige Stetigkeit

09.01.2013, 01:50	nerd18000	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige Stetigkeit Meine Frage: Hallo, ich soll herausfinden, ob folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist: $\begin{eqnarray} g:\mathbb {R^+}_0 \rightarrow \mathbb R , x \rightarrow \sqrt{1+x^4} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich würde sagen, dass sie es ist und so habe ich begonnen: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{1+x^4} - \sqrt{1+y^4} \| = \| \frac{x^4-y^4}{\sqrt{1+x^4} + \sqrt{1+y^4} } \| = \|x-y\|\| \frac{(x+y)(x^2+y^2)}{\sqrt{1+x^4} + \sqrt{1+y^4}}\| \leq \|x-y\|\| x+y \| \leq ...? \end{eqnarray}$ Setze ich da richtig an? Danke für eure Hilfe!
09.01.2013, 13:01	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Für reelle, gleichmäßig stetige Funktionen f gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq L(1+\|x\|), L \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Also zu überprüfen ist: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x^4+1}}{1+\|x\|} \leq L \end{eqnarray}$ Mir scheint die Funktion nicht gleichmäßig stetig. Man könnte zeigen, dass der obere Ausdruck nach oben unbeschränkt ist.

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