Geometrische Wahrscheinlichkeit im Kreis

09.01.2013, 11:45

Tobe86

Geometrische Wahrscheinlichkeit im Kreis

Meine Frage:
Bei folgender Aufgabe komme ich einfach nicht weiter....

Ein Punkt wird rein zufällig in einem Kreis mit Radius 1 gewählt. Sei X der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt.
Welche Wert von X sind am Wahrscheinlichsten? Skizzieren Sie anhand dieser Überlegung die Dichtefunktion von X.

Meine Ideen:
Mit Hilfe des Bertrandschen Paradoxon soll das wohl zu lösen sein, aber ich komm da einfach nicht weiter!

Vielen Dank schonmal im Voraus Augenzwinkern

Stochastik ist echt eine Qual für mich ...

Zellerli: Titel angepasst.

09.01.2013, 14:01

Zellerli

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Bitte wähle einen Aussagekräftigen Titel und unterlasse Hilferufe. Siehe dazu unser Boardprinzip.

Inhaltlich weiß ich nicht so ganz, wie du das Bertrandsche Paradoxon da reinbringen sollst.

09.01.2013, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tobe86
Ein Punkt wird rein zufällig in einem Kreis mit Radius 1 gewählt.

Wenn man präziser formuliert, was damit gemeint ist, dann bleibt auch kein Raum mehr für ein Paradoxon. Augenzwinkern

Gehen wir mal von einer (stetigen) Gleichverteilung auf der Kreisfläche aus.

11.01.2013, 17:19

Dopap

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stetige Gleichverteilung auf einer Kreisfläche würde mich schon interessieren. sei Zufallsvariable Z=Abstand zum Ursprung.

Polardarstellung mit Zufallspunkt $\begin{eqnarray*} P=(R,\phi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gleichverteilt in

$\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ und R gleichverteilt in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ bringt ja nix, da Z dann
schlichtweg gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ wäre. verwirrt

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Beim einem Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,2]\times [0,2] \end{eqnarray*}$ würde ich ja

$\begin{eqnarray*} Z=\sqrt {X^2+Y^2} \end{eqnarray*}$ vermuten , mit X und Y stetig gleichverteilt auf [0,2] (?)

11.01.2013, 19:51

HAL 9000

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Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Volumen $\begin{eqnarray*} 0<\lambda^{(d)}(M)<\infty \end{eqnarray*}$ ist, so bezeichnet

$\begin{eqnarray*} P(A) := \frac{\lambda^{(d)}(A\cap M)}{\lambda^{(d)}(M)} \end{eqnarray*}$ für Borelmengen $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$

das Verteilungsmaß der stetigen Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Die zugehörige Dichte wäre dann einfach

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\lambda^{(d)}(M)}\cdot 1_M(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ .

-----------------------

Für das vorliegende Problem heißt das $\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = B^{(2)}(0,1) = \left\{ (x_1,x_2) \bigm| x_1^2+x_2^2\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$ , d.h. dann Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) = \frac{1}{\pi}\cdot 1_{B^{(2)}(0,1)}(x_1,x_2) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} &\,\mbox{falls}\; x_1^2+x_2^2\leq 1 \\ 0 &\,\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

14.01.2013, 17:51

Dopap

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@HAL 9000: nun spät aber nicht zu spät.

das mit den Borelmengen habe ich mir angeschaut.
Die Schreibweise für den Indikator war mir neu.

Summa summarum denke ich, es gefühlt verstanden zu haben. smile

Also: besten Dank , auch im Sinne des nun abgeschlossenen Threads.

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