Irrationalitätsbeweis

09.01.2013, 11:49	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationalitätsbeweis die folgende Aufgabe ist aus dem Buch Analysis 1 von Harro Heuser(S. 32 Aufgabe 3) Aufgabe: Jede ganze Zahl läßt sich in einer der drei Formen 3m, 3m+1, 3m+2 mit einem geeigneten m element der ganzen Zahlen schreiben; genau die Zahlen 3m sind durch 3 teilbar. Zeige: a) k element Z ist durch 3 teilbar ist äquivalent zu k^2 ist durch 3 teilbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ k ist durch 3 teilbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow k = 3m \Leftrightarrow k^2 = (3m)^2 \Leftrightarrow k^2 = 9m^2 \Leftrightarrow k^2 = 3 \cdot (3m^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ k ist entweder $\begin{eqnarray} k=3m+1 \Leftrightarrow k^2 = (3m+1)^2 \Leftrightarrow k^2 = 9m^2+6m+1 \Leftrightarrow k^2 = 3 \cdot (3m^2+2m)1 \end{eqnarray}$ Widerspruch zu k^2 ist durch 3 teilbar oder $\begin{eqnarray} k = 3m+2 \Leftrightarrow k^2 = (3m+2)^2 \Leftrightarrow k^2 = 9m^2 + 12m + 4 \Leftrightarrow k^2 = 3 \cdot (3m^2+4m+1)+1 \end{eqnarray}$ Widerspruch zu k^2 ist durch 3 teilbar oder k = 3m => k^2 ist durch drei teilbar. Also muss es k= 3m sein, weil dies als einzige Möglichkeit nicht zum Widerspruch führt Frage: Ist das richtig?
09.01.2013, 12:13	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationalitätsbeweis Es ist im Prinzip richtig, aber ein bißchen "langatmig"... Ich hätte gesagt, dass jede ganze Zahl k von der Form $\begin{eqnarray} k=3q+r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \in \{-1,0,1\} \end{eqnarray}$ ist... Damit gilt $\begin{eqnarray} 3\|k^2=(3q+r)^2=9q^2+6qr +r^2 \Leftrightarrow 3\|r^2 \Leftrightarrow r=0 \Leftrightarrow 3\|k \end{eqnarray}$
09.01.2013, 12:21	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke dir. Dann noch die 3b) damit die Überschrift einen Sinn bekommt . $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ ist irrational, mit anderen Worten: Für keine rationale Zahl r ist r^2 = 3 Beweis: Annahme: Es gibt eine rationale Zahl p/q mit (p/q)^2 = 3, p/q ist gekürzt $\begin{eqnarray} (\frac p q)^2 = 3 \Leftrightarrow p^2 = 3 q^2 \Rightarrow \end{eqnarray}$ p^2 ist durch 3 teilbar, also ist auch p durch 3 teilbar. $\begin{eqnarray} (3m)^2 = 3q^2 \Leftrightarrow 9m^2 = 3 q^2 \Leftrightarrow 3m^2 = q^2 \end{eqnarray}$ => q^2 ist durch 3 teilbar, also auch q. Damit folgt ein Widerspruch da angenommen wurde, dass (p/q) in gekürzter Form vorliegt. Also kann $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ keine rationale Zahl sein.
09.01.2013, 12:36	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt so...
09.01.2013, 12:42	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Hilfe

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