Die Ableitung von Quotienten - Textaufgabe

09.01.2013, 17:20	nele1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung von Quotienten - Textaufgabe Meine Frage: In einem betriebswirtschaftlichen Modell wird angenommen, dass beim Verkauf von x Stück eines Wirtschaftsguts der Gewinn pro Stück 1 / 1 + Wurzel x Geldeinheiten beträgt. a) Zeigen Sie, dass der Gewinn pro Stück mit wachsender Stückzahl abnimmt. b) Zeigen Sie, dass der Gesamtgewinn mit wachsender Stückzahl zunimmt. Meine Ideen: zu a) Also ich würde jetzt erst einmal schauen, wie sich die Funktion verhält, wenn man immer größere x-Werte einsetzt. Wenn Die Funktionswerte dann immer kleiner werden, würde ich die Aussage bestätigen. zu b) Hier würde ich eigentlich genauso vorgehen, nur stünde dies im Widerspruch zu a). Könnt Ihr mir helfen?
09.01.2013, 17:33	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nele, Ist das die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)= \frac{1}{1+\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ für den Gewinn pro Stück ? Du schreibst zu a):"Also ich würde jetzt erst einmal schauen, wie sich die Funktion verhält, wenn man immer größere x-Werte einsetzt." Das kannst du erstmal so machen. Danach kannst du mal die Ableitung des Stückgewinns bilden. Diese gibt ja die Veränderung an. zu b) Der Gesamtgewinn ist der Stückgewinn multipliziert mit der Menge. Grüße.
09.01.2013, 17:55	nele1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei immer größer werdendem x, wird der Funktionswert immer kleiner. Die Ableitung dürfte 1 / 1+x * Wurzel x sein. Stimmt das? Hier wird der Funktionswert auch immer kleiner. b) Gesammtgewinnsfunktion: x / 1 + Wurzel x Hier wird der Funktionswert mit wachsendem x größer. Die Aussage wird also auch bestätigt. Stimmt das?
09.01.2013, 18:11	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Die Ableitung stimmt so nicht. Setze vor allem Klammern. Ich kann eigentlich gar nicht erkennen wie die Ableitung aussehen soll. Es reicht bei der Ableitung nicht, das der Funktionswert immer kleiner wird. Enscheidend ist, dass er für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ negativ ist. Ich schreibe mal die Funktion um: $\begin{eqnarray} g(x)=(1+x^{\frac{1}{2}})^{-1} \end{eqnarray}$ Du kannst jetzt mit der Kettenregel ableiten: "Außere Ableitung" * "Innere Ableitung" zu b) Du schreibst:" Hier wird der Funktionswert mit wachsendem x größer" Das ist richtig. Auch das kannst du mit einer Ableitung zeigen. Die Funktion für den Gesamtgewinn stimmt soweit.
09.01.2013, 18:32	nele1994	Auf diesen Beitrag antworten »
g'(x) = -0,5 x^-0,5 * (1+x^0,5)^-2 Dann ist die Funktion für x >= 0 negativ. Kannst Du mir noch sagen, warum das entscheidend ist? b) Die Ableitung hier wäre: x * (-0,5x^-0,5 * (1+x^0,5)^-2) + 1 * (1+x^0,5)^-1
09.01.2013, 19:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Deine Ableitung und Schlussfolgerung ist richtig. Erste Ableitung zeigt die Veränderung an. Ist sie negativ, dann nimmt der Funktionswert (Stückgewinn) mit wachsendem x ab. zu b) $\begin{eqnarray} G'(x)=x (-0,5x^{-0,5}) * (1+x^{0,5})^{-2} + 1 * (1+x^{0,5})^{-1} \end{eqnarray}$ Diese Ableitung habe ich auch. Man kann die Ableitung noch zusammenfassen. Dazu erstmal die Faktoren mit negativen Hochzahlen in den Nenner schreiben, außer $\begin{eqnarray} x^{-0,5} \end{eqnarray}$ . Nun kannst du den zweiten Teil mit $\begin{eqnarray} (1+x^{0.5}) \end{eqnarray}$ erweitern. Somit kann man jetzt den Zähler auf einen Bruchstrich schreiben. Der Nenner ist dann $\begin{eqnarray} (1+x^{0,5})^{2} \end{eqnarray*}$ Jetzt erkennt man auch gut, ob G'(x) negativ oder positiv ist.
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