Umfang regelmäßiges Vieleck |
| 09.01.2013, 17:53 | Klösp | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Umfang regelmäßiges Vieleck Es soll ein regelmäßiges n-Eck in den Einheitskreis eingeschrieben werden. Dann soll der Umfang berechnet werden und anhand der geometrischen Beobachtung eine Aussage zum Grenzwert getroffen werden. Ich habe zwar mittlerweile rausgefunden, dass die Formal für den Umfang ist und der Grenzwert wird gegen den Umfang des Kreises gehen. Mein Problem ist nur, dass ich die Formel aus einer Formelsammlung hab und nicht selbst draufgekommen bin. Deshalb meine Frage: Wie kann man sich die Formel für den Umfang herleiten? Danke im Vorraus |
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| 09.01.2013, 20:06 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Umfang regelmäßiges Vieleck Stelle Dir im regelmäßigen Vieleck Strecken vor, die von allen seinen Eckpunkten zum Mittelpunkt des Kreises gehen. Du bekommst gleichschenkelige, zueinander kongruente Dreiecke mit Schenkellänge 1 (Einheitskreis). Wieviele sind es? Wie groß ist der Winkel in der "Spitze" (die im Mittelpunkt des Kreises liegt) eines solchen Dreiecks? Nimm Radiant als Winkelmaß! Teile das Dreieck entlang der Höhe auf die Basis in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Jetzt denke an den Winkelsatz für den Sinus im rechw. Dreieck. |
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| 09.01.2013, 20:27 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lg kgV 
PS. Nebenher finde ich es einfacher, direkt mit dem Cosinus zu arbeiten... mit Alpha= halber Innenwinkel des n-Ecks edit: Ich streiche mal alles bis auf mein PS Lg edit2: Formatfehler behoben |
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| 10.01.2013, 18:00 | Klösp | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay danke. Ich glaub ich habs verstanden. Hab mir das ganze mal mit einem Viereck vorgestellt. Dann bekomme ich zuerst 4 gleichschenklige Dreiecke. Der Winkel ist dann immer 2pi/n. (90Grad) Wenn ich dann in rechtwinklige Dreiecke teile ergibt sich die Seite (im Einheitskreis) durch sin (2pi/2n) (45 Grad) und da ich ja jetzt für jede Seite des Vielecks 2 einzelne Seite berechne kommt da noch die 2*n davor. (mal 8) und das macht dann eben 2*n*sin(pi/n) |
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| 10.01.2013, 18:17 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Und ist Dir das mit dem Grenzwert klar? Welche Figur erhältst Du, wenn n gegen Unendlich geht? |
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| 10.01.2013, 18:21 | Klösp | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn n sehr groß wird, wird sich das Vieleck immer mehr dem Kreis annähern. Daher müsste ja Uvieleck=UKreis und der Umfang eines Kreises ist pi*Durchmesser. Das heißt für den Einheitskreis 2pi und damit müsste auch der Grenzwert gegen 2*pi gehen. |
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| 10.01.2013, 18:26 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie weit Du das rechnerisch darstellen sollst, geht für mich aus der Anfrage nicht ganz klar hervor. Du kannst natürlich gerne weiterfragen. |
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| 11.01.2013, 20:04 | Klösp | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also in der in der Aufgabe steht eben, dass man aus der geometrischen Beobachtung folgern soll. Das würde für mich heißen man braucht nichts zeigen, aber schaden kann es ja nicht. Deshalb wäre ich um einen Tipp ganz froh. Wenn ich einfach sehr große Zahlen für n einsetze seh ich jetzt noch nicht sofort wogegen das laufen wird. |
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| 11.01.2013, 20:44 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Lösung liegt im Sinus. Wahrscheinlich ist Dir schon aufgefallen oder wurde das auch im Matheunterricht angesprochen, dass der Sinus eines sehr kleinen Winkels beinahe gleich groß ist wie der zugehörige Bogen (= Winkel im Bogenmaß). Wenn n ständig wächst, wird ja der Winkel immer kleiner, bis er im Grenzübergang unendlich klein ist. In diesem Zustand gilt: sin x = x. Das kannst Du für die Grenzwertberechnung nützen. |
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| 11.01.2013, 21:50 | Klösp | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du meinst sin(pi/n)=pi/n (für große n) daher: (2*n*pi)/n und n würde sich rauskürzen. ? Danke |
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| 11.01.2013, 22:12 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig.
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