Sind Vekt. LA wenn sie eine Basis bilden?

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09.01.2013, 17:55	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind Vekt. LA wenn sie eine Basis bilden? Hallo, ich bin mir nicht so recht sicher, was ich bei dieser Aufgabe machen soll: Sei V ein Vektorraum und $\begin{eqnarray} \{\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},\vec{b_4}\} \end{eqnarray}$ eine Basis von V. Sind die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1}=\vec{b_1}+\vec{b_2}+\vec{b_3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{a_2}=\vec{b_2}-\vec{b_3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{a_3}=\vec{b_4}-\vec{b_3}+2\vec{b_1} \end{eqnarray}$ linear unabhängig? Begründen sie Ihre Antwort. Mein Ansatz: Sie sind linear unabhängig, da die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3} \end{eqnarray}$ eine Basis von V bilden, weil sie sich aus den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},\vec{b_4} \end{eqnarray}$ zusammensetzen. Aber kann das als Antwort genügen? Muss ich da nichts rechnen? Ist das überhaupt richtig, was ich mir da überlegt habe?
09.01.2013, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann nicht sein. V hat eine Basis aus 4 Vektoren, also die Dimension 4. 3 Vektoren können keine Basis eines 4-dimensionalen Vektorraumes sein.
09.01.2013, 18:54	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh da hast du wohl recht, aber dann habe ich garkeine Ahnung mehr für einen Ansatz
09.01.2013, 18:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang der Matrix ist gleich dem Untervektorraum, der von a1,a2,a3 erzeugt wird. Rang=3, dann l.u. Rang<3, dann l.a.
09.01.2013, 19:04	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang eine Matrix hatten wir noch garnicht in der Vorlesung. Habe gerade mal im Internet danach gesucht, aber kann das nicht so richtig auf mein allgemeines Beispiel anwenden. Wie kann ich denn daraus eine Matrix aufstellen?
09.01.2013, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der anderen Aufgabe versuchst du, mit Gauß den Rang einer komplexen Matrix zu berechnen, daher hatte ich vermutet, du weißt was du tust. Schreibe die Zeilenvektoren a1=(1,1,1,0), a2=(0,1,-1,0),a3=(2,0,-1,1) in eine Matrix, mache Gaußsches Eliminationsverfahren, die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen ist dann der Rang der Matrix.
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09.01.2013, 19:25	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also das Eliminationsverfahren kann ich, so wie es in der anderen Aufgabe gefordert ist, allerdings, haben wir über Rang noch nicht in der Vorlesung gesprochen. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III'=I\cdot 2 - III \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III''=II\cdot 2 - III' \end{matrix} \end{eqnarray}$ Also wäre der Rang 3. Da Rang ist 3 und wir 3 Vektoren \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3} haben sind sie linear unabhängig. Kann man das so aufschreiben? //EDIT: Normalerweise hätte ich jetzt gedacht, dass sie linear abhängig sind, da ich eine Variable frei wählen kann.
09.01.2013, 19:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so. Die 3 Vektoren sind l.u., sie sind die Basis eines 3-dimensionalen Untervektorraums von V. Hier werden keine Variablen (frei) gewählt, das ist eine Matrix, aber kein LGS.
09.01.2013, 19:40	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III'=I\cdot 2 - III \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III''=II\cdot 2 - III' \end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Rang 3 Die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, da sie die Basis eines 3-dimensionalen Untervektorraums von V sind. Ist das so die Begründung?
09.01.2013, 19:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine gute Begründung. 3 Vektoren können die Basis eines (Unter-)Vektorraums der Dimension 0,1,2,3 sein. Die Dimension des (Unter-)Vektorraumes ist der Rang der Matrix. Für Dimension 0,1,2 sind sie linear abhängig, für Dimension 3 sind sie l.u.
09.01.2013, 20:01	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke! Mal sehen, ob das dann so passt, obwohl wir den Rang noch nicht kennen. Aber sind die 3 Vektoren jetzt eine Basis Untervektorraumes von V, da es ja nur 3 Vekotren sind, richtig?
09.01.2013, 20:06	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, schaue mir das morgen nochmal in Ruhe an!
09.01.2013, 22:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hätte hier auch ganz kanonisch ansetzen können $\begin{eqnarray} 0=\sum_{i=1}^3\lambda_i\vec{a}_i \end{eqnarray}$ , dann nach den $\begin{eqnarray} \vec{b}_i \end{eqnarray}$ sortieren und deren lineare Unabhängigkeit ausnutzen. Eigentlich reicht es, wenn man bemerkt, dass $\begin{eqnarray} \vec{b}_4 \end{eqnarray}$ nur in in der Definition von $\begin{eqnarray} \vec{a}_3 \end{eqnarray}$ auftritt und deswegen $\begin{eqnarray} \lambda_3=0 \end{eqnarray}$ sein muss. Genauso überlegt man dann anhand von $\begin{eqnarray} \vec{a}_1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \lambda_1=0 \end{eqnarray}$ und ist fertig.
12.01.2013, 21:01	Buttahbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe die gleiche Aufgabe und verstehe hier jetzt nicht ganz wie die Aufgabe gelöst wurde. Wurden jetzt 3 beliebige Vektoren ausgesucht und dann der Rang bestimmt? Ich verstehe irgendwie nicht was das mit der Aufgabe zu tun hat, könnte mir da bitte nochmal jemand veiterhelfen?
13.01.2013, 11:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wurde bewiesen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind.
13.01.2013, 13:06	Buttahbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön und gut, aber woher kamen jetzt diese 3 Vektoren, in der Aufgabe ist ja nichts konkretes gegeben.
13.01.2013, 13:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar doch, die Vektoren $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ sind in der Basis $\begin{eqnarray} b_j \end{eqnarray}$ gegeben, konkreter geht's nicht.

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