Differentialgleichung 4.Ordnung

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09.01.2013, 18:32	weisnichtweiter	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 4.Ordnung Meine Frage: Hallo, Ich soll für die folgende DGL 4.Ordnung die allg. Lösung liefern: Y´´´´-y=0 Meine Ideen: ....probiert hab ichs über die charackteristische gl. und den Nullstellen lamda1=0 lamda2=1 von da komm ich leider nicht so recht weiter da ich nicht weiß welche form die allg. lösung hat... ich bedanke mich schonmal im vorraus für hilfe PS: änliche Fragen hab ich mir bereits durchgelesen und die haben mir leider nicht weitergeholfen...
09.01.2013, 18:37	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 4.Ordnung Der Ansatz mit dem charakteristischen Polynom klingt vernünftig. $\begin{eqnarray} y^{(4)}-y=0 \end{eqnarray}$ Ich umschreibe es erstmal mit dem linearen Differentialoperator. $\begin{eqnarray} D^4y-y=0 \end{eqnarray}$ Nun klammere ich das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ aus: $\begin{eqnarray} y(D^4-1)=0 \end{eqnarray}$ Demnach ist das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} r^4-1=0 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung gilt es nun zu lösen.
09.01.2013, 19:23	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
für r ergibt sich ja dann -1 und 1 wie bekomm ich das jetzt in die allg. form?
09.01.2013, 19:56	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber es fehlen noch zwei Lösungen. Ein Polynom 4. Grades hat auch 4 Nullstellen.
09.01.2013, 20:05	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du die komplexen Nst. i und -i ?
09.01.2013, 20:06	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Jetzt können wir die Lösung konstruieren. Irgendwelche Ansätze?
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09.01.2013, 20:11	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
sowas in der art vieleicht: y(x)=C1e^(lambdax) das hat zumindest bei einer änlichen aufgabe funktioniert...
09.01.2013, 20:11	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
yi(x) mit i=1,...,4
09.01.2013, 20:20	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei den reellen Nullstellen klappt es mit $\begin{eqnarray} c_1e^{rx} \end{eqnarray}$ wie klappt es denn mit den komplexen Nullstellen?
09.01.2013, 21:00	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
...da bin ich grade bisschen überfragt: wenn ich raten müsste dann würde ich an sowas denken: C1*e^((a+bi)x) ist aber nur geraten
09.01.2013, 21:39	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Für komplexe Nullstellen der Form $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ nutzt man folgendes: $\begin{eqnarray} c_1e^{ax}cos(bx)+c_2e^{ax}sin(bx) \end{eqnarray}$ Wie sieht also die Lösung aus?
09.01.2013, 22:03	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich dann einmal a+bi und einmal a-bi mit a und b jeweils 1? das heißt die lsg beinhaltet C1 bis C4?
09.01.2013, 22:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib es doch einfach mal auf, danach kann man immer noch schauen.
09.01.2013, 22:14	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
C1e^-x + C2e^x + C3e^(ax)cos(-bx) + C4e^(ax)sin(bx) ??? mit den werten von a und b bin ich mir recht unsicher...hätte fast 1 jeweils geschrieben...
09.01.2013, 22:19	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Die reellen Nullstellen sind schonmal korrekt. Schauen wir uns also noch die komplexen Nullstellen an. Wir haben zwei komplexe Nullstellen. $\begin{eqnarray} r_3=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_4=-i \end{eqnarray}$ oder anders geschrieben: $\begin{eqnarray} r_3=0+1i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_4=0-1i \end{eqnarray}$ Nun fangen wir als erstes mit der Nullstelle $\begin{eqnarray} r_3 \end{eqnarray}$ an. Was ist bei der Nullstelle das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und was das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ?
09.01.2013, 22:29	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh dann bleibt für den komplexen teil lediglich C3cos(x)+C4sin(-x) übrig?! also wg e^0 =1
09.01.2013, 22:33	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht warum du plötzlich bei dem sinus ein Minus schreibst. Wir betrachten doch $\begin{eqnarray} r_3 \end{eqnarray}$ erstmal. Wie lautet also die Konstruktion für die dritte Nullstelle?
09.01.2013, 22:38	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
a ist doch 0 und b =1 (für r3) dann ergibt das doch eingesetzt: C3e^(0x)cos(1x) oder bin ich jetzt komplett auf dem falschen dampfer???
09.01.2013, 22:44	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist unvollständig. Eine komplexe Nullstelle wird doch folgendermaßen verarbeitet: $\begin{eqnarray} c_1e^{ax}cos(bx)+c_2e^{ax}sin(bx) \end{eqnarray}$
09.01.2013, 22:51	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ich hatte wegen c1 und c2 auch an zwei nullstellen gedacht... C1e^(0x)cos(x) + C2e^(0x)sin(x)
09.01.2013, 23:11	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt ist es richtig für $\begin{eqnarray} r_3 \end{eqnarray}$ . Jetzt nur noch $\begin{eqnarray} r_4 \end{eqnarray}$ und alles zusammenfassen. Ich werde jetzt mal in die Haia gehen. Nacht!
10.01.2013, 00:14	antonina	Auf diesen Beitrag antworten »
juhuu vielen vielen dank für deine hilfe und geduld!!!

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