Konvexkombinationen von Vektoren

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09.01.2013, 18:37	x=123465789	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexkombinationen von Vektoren Meine Frage: Wie bildetet man eine Konvexkombination und eine Linearkombination? Ich hab diese Punkte: a1 = (1; 0; 1; 0) , a2 = (-3; 3; 7; 0) und a3 = (-1; 0; 0; 2) und soll eine Konvex- und eine Linearkombination bilden. Meine Ideen: eine Linearkombination ist doch ein Summenvektor, also a1 + a2 + a3 = (-3; 3; 8; 2), richtig? Und eine Konvexkombination ist doch die Fläche zwischen den Vektoren a1, a2 und a3, während die Linearkombination keine Flächste ist, richtig? Aber wie stelle ich eine Konvexkombination aus Vektoren dar?
09.01.2013, 18:43	x=123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung soll sein für die Konvexkombination: 1/3 a1 + 1/3 a2 + 1/3 a3 = (-1; 1; 8/3; 2/3) Die Skalare sollen über 0 sein und zusammen 1 ergeben. Ich bin ganz frisch im Thema, deswegen hilft man das nicht wirklich weiter.
09.01.2013, 19:06	x=123456789	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm.. bekomme ich keine Hilfe?
09.01.2013, 22:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Konvexkombination ist ein Spezialfall einer Linearkombination; es reicht also, eine erstere anzugeben. Die Bedingung dafür hast du richtig genannt, wenn du mit "Skalare" die Vorfaktoren der drei Vektoren meinst. Deine Lösung stimmt also. Die Linearkombination aus dem ersten Beitrag ist auch eine. Dein zweiter Beitrag hört sich so an, als gäbe es aber noch eine Frage: Welche denn?
13.01.2013, 19:17	x=123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab eine Aufgabe, die ich immer noch nicht verstehe. Vielleicht kannst du mir ja helfen. Gegeben seien die Vektoren a = (1;2) , b= (4; 8) und c=(3;2). Wo liegen die Konvexkombinationen von a und c sowie von a und b? Die Lösung aus dem Forum ist: Die Konvexkombination $\begin{eqnarray} conv(a,b) =\{\lambda a + (1-\lambda)b:\lambda \in [0,1]\} \end{eqnarray}$ Die Lösung meiner Dozentin ist: a + k * (c- a) ,ke[0,1] Sieht sich ja sehr ähnlich. Nur mein Problem ist, dass ich die Lösung nicht nachvollziehen kann. Könntest du mir vielleicht noch mal die ganze Problematik erklären (für Dumme sozusagen ). Also worum es geht und was gesucht ist, was zu beachten ist... Wenn ich die Konvexkombination von a und c suche, was suche ich dann? Den Streckenabschnitt?
13.01.2013, 20:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Konvexkombination von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,\dotsc,v_n \end{eqnarray}$ ist eine Linearkombination $\begin{eqnarray} \alpha_1v_1+\dotsb+\alpha_nv_n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \alpha_1+\dotsb+\alpha_n=1 \end{eqnarray}$ . Im Falle von zwei Vektoren (also $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ) im euklidischen Raum ist die Menge der Konvexkombinationen dann genau die Strecke zwischen diesen. Bei drei Vektoren ist es das Dreieck, dass diese begrenzen. Bei vier Vektoren (hier sollte man mindestens im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sein) der Spat (eine Art verschobener Quader), den diese begrenzen.
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13.01.2013, 20:41	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Und warum muss das 1 sein? Was ist da der mathemtische Hintergrund? (Mit 1 meinst du die Summe der Skalare?) Fetten Dank für die Antwort übrigens.
13.01.2013, 20:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich meine ich mit Eins die Summe der Skalare, steht ja auch da: $\begin{eqnarray} \alpha_1+\dotsb+\alpha_n=1\,. \end{eqnarray}$ Diese Summe muss Eins sein, weil eine Linearkombination genau dann in der "konvexen Hülle" von Vektoren liegt, wenn es eine Konvexkombination ist. D.h. Genau die Konvexkombinationen von Vektoren liegt "zwischen" diesen. Das kannst du dir als Mittelwert vorstellen: $\begin{eqnarray} \frac{a+b+c}3=\frac13a+\frac13b+\frac13c\,. \end{eqnarray}$ Und noch besser als gewichtetes Mittel, z.B. $\begin{eqnarray} \frac14a+\frac14b+\frac12c \end{eqnarray}$ .
13.01.2013, 20:54	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
a + k * (c- a) ,ke[0,1] Ok. Also hat meine Dozentin diese Form gewählt, weil sie quasi wie ne Geradengleichung vomn Vektoren ist: g: u + lambda * v a + k * (c- a) ,ke[0,1] wobei u=x und v=y-x sein könnte. Also würde man hier die Strecke zwischen a und c berehcnen? Und was ist noch mal mit dem K? PS: Ich hab deine Hilfe abgeschrieben und eingeheftet. Super!
13.01.2013, 20:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Form erinnert mehr an Geradengleichungen/-darstellungen mit Richtungsvektor. $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist dan einfach ein Parameter, den du auch $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \widetilde{\boxed\star} \end{eqnarray}$ nennen könntest. Die Strecke berechnet man aber nicht. Die Menge der Konvexkombinationen ist vielmehr das Streckenstück. Man sagt eher, dass man das Streckenstück parametrisiert.
13.01.2013, 21:19	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist in dem Fall das Streckenstück? Kann ich mir darunter so etwas wie einen Richtungsvektor vorstellen? Und kann ich die Strecke zwischen a und c damit berehcnen?
13.01.2013, 21:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Punkte $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ einzeichnest, ist das Streckenstück einfach die Verbindungsstrecke. Der Richtungsvektor sieht vermutlich so ähnlich aus, wenn du ihn als Pfeil zwischen diesen Punkten zeichnest. Die Streckenlänge kannst du damit nicht direkt berechnen, die ist $\begin{eqnarray} \lVert a-b\rVert \end{eqnarray}$ .
13.01.2013, 21:41	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist das denn $\begin{eqnarray} \lVert a-b\rVert \end{eqnarray}$ ? Doppelte Betragszeichen?
13.01.2013, 21:42	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht schreibt ihr das auch als $\begin{eqnarray} \lvert a-b\rvert \end{eqnarray}$ . (meine waren sogenannte Normstriche)
13.01.2013, 22:07	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ist das nicht nur der Richtungsvektor?
13.01.2013, 22:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Betrag bzw. die Länge des Vektors $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ .
13.01.2013, 22:12	x=123457489	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok. Stimmt der R-Vektor wäre ja b-a oder? Ohne Betrag und umgekerht sizusagen.
13.01.2013, 22:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist vollkommen egal. Der Betrag ist jeweils derselbe.

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