Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

09.01.2013, 19:38

134340

Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Ich habe folgende vier Vektoren gegeben:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{d} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich bestimmen, welche Werte $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ haben müsste, damit das Gleichungssystem unendliche viele Lösungen hat.
Hier komme ich allerdings schon nicht weiter unglücklich

Wann hat ein Gleichungssystem denn unendlich viele Lösungen?

Ich freue mich über jeden Denkanstoß smile

09.01.2013, 19:46

lgrizu

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RE: Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
Ich verstehe die Aufgabe nicht einmal, $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ ist doch vorgegeben....

Desweiteren hast du da nur vier Vektoren stehen, ein LGS sehe ich auch nicht.

09.01.2013, 19:57

134340

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Man soll wohl aus den verschiedenen gegebenen Vektoren ein LGS in dieser Form basteln:

code:
1: 2: 3:	2x+3y+2z=2 3x+4y+4z=3 2x+1y+6z=-3

09.01.2013, 20:46

lgrizu

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Okay, man soll also d als Linearkombination von a, b und c darstellen, in Ordnung, dieses LGS kann man dann lösen.

Poste die Aufgabe doch bitte einmal Wort-wörtlich wie du sie bekommen hast.

10.01.2013, 08:20

134340

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Gegeben sind die Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{d} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass ein mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ als Koeffizientenvektoren und $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ als Ergebnisvektor aufgestelltes Gleichungssystem keine Lösung hat!

a hab ich schon fertig Big Laugh

b) Welchen Wert müsste $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ haben, damit sich nun ein Gleichungssystem mit beliebig vielen Lösungen ergibt?

10.01.2013, 09:53

lgrizu

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Wie schaut denn die erweiterte Matrix aus Aufgabe a) in Zeilenstufenform aus?

Die benötigen wir für Aufgabe b).

10.01.2013, 11:43

134340

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Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für Aufgabe a) habe ich darauf dann den Gauß-Algorithmus angewand und dabei bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Da 0=-5 ein wiederspruch ist, hat dieses LGS keine Lösung

10.01.2013, 11:53

lgrizu

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Unendlich viele Lösungen erhälst du, wenn du in der letzte Zeile eine Nullzeile konstruierst, wenn du also statt der -5 eine 0 einsetzt.

Dann musst du nur noch alle Zeilenumformungen "rückgängig" machen.

10.01.2013, 12:15

134340

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Also ich gehe jetzt von der Anfangsmatrix aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und versuche durch verschiedene Umformungen die unterste Zeile auf 0 zu bekommen?

10.01.2013, 12:19

lgrizu

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Nein, das ist ja nicht Möglich, wie du in Aufgabe a) gesehen hast.

Du nimmst die Matrix in Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir den letzten Eintrag 0 und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses LGS hat nun unendlich viele Lösungen, warum?

Nun machen wir alle Zeileumformungen rückgängig, die wir gemacht haben, um von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu kommen.

10.01.2013, 13:44

HAL 9000

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Alternativ könnte man auch gleich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & d_1 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. nach Vertauschung von erster und letzter Gleichung (und damit etwas weniger rechenlastig)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 & -3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & d_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in eine Zeilenstufenform bringen. Ist dies fertig, so betrachtet man das Zeilenstufenergebnis einmal mit $\begin{eqnarray*} d_1=2 \end{eqnarray*}$ für Teilaufgabe a), und für b) kann man den gesuchten Wert auch gleich ablesen.

10.01.2013, 14:23

134340

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Zitat:

Original von HAL 9000
Alternativ könnte man auch gleich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & d_1 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. nach Vertauschung von erster und letzter Gleichung (und damit etwas weniger rechenlastig)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 & -3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & d_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in eine Zeilenstufenform bringen. Ist dies fertig, so betrachtet man das Zeilenstufenergebnis einmal mit $\begin{eqnarray*} d_1=2 \end{eqnarray*}$ für Teilaufgabe a), und für b) kann man den gesuchten Wert auch gleich ablesen.

Öhm

Wie meinst du das? Wie kann ich denn dann $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

@Igrizu
Was meinst du denn eigentlich mit "rückgängig machen"? Einfach die gegenteilige Rechenoperation (so wird das bei mir im Unterricht bezeichnet)?

10.01.2013, 14:27

lgrizu

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Jap, genau, die Gegenteilige Rechenoperation verwenden.

10.01.2013, 14:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von 134340
Öhm verwirrt

Wie meinst du das? Wie kann ich denn dann $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

Anscheinend hast du noch nie ein LGLS mit Parametern auf derartige Weise gelöst, ansonsten würdest du diese Frage nicht stellen. Na dann will ich dich nicht weiter ablenken.

15.01.2013, 09:45

134340

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Ich bekomms leider nicht hin -.- könntest du mir vielleicht dabei helfen den ersten Schritt Rückgängig zu machen? Dann bekomm ich den Rest sicher auch hin smile

15.01.2013, 09:56

HAL 9000

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Ich kann nur für den Weg sprechen, den ich oben vertreten habe. Und da ergibt sich ausgehend von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 & -3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & d_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bei Elimination der ersten Variable

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 & -3 \\ 0 & 2.5 & -5 & 7.5 \\ 0 & 2 & -4 & d_1+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und schließlich der zweiten Variable (nach vorheriger "Normierung" der zweiten Zeile)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & d_1-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist klar,

a) dass das System für $\begin{eqnarray*} d_1=2 \end{eqnarray*}$ nicht lösbar ist, und

b) für welchen Wert von $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ das System unendlich viele Lösungen besitzt.

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