(Teilraum) Gauß mit Nullzeile 2 Variablen wählen?

09.01.2013, 21:03

baba2k

(Teilraum) Gauß mit Nullzeile 2 Variablen wählen?

Berechnen Sie den Teilraum $\begin{eqnarray*} <\vec{a_1},\vec{a_2} > \cap <\vec{a_3},\vec{a_4}> \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \vec{a_1}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{a_2}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{a_3}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \vec{a_4}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Rechnung:

$\begin{eqnarray*} V=<\vec{a_1},\vec{a_2} > \cap <\vec{a_3},\vec{a_4}> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\in V=V_1 \cap V_2: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\in V_1 \Rightarrow \vec{x} = \lambda_1\vec{a_1}+\lambda_2\vec{a_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\in V_2 \Rightarrow \vec{x} = \lambda_3\vec{a_3}+\lambda_4\vec{a_4} \end{eqnarray*}$

Ich habe ich es mit Gauß gelöst, das ist auch noch soweit klar:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -12 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe also 4 Unbekannte und 2 Gleichungen, d.h.
ich muss 2 Variablen frei wählen?

$\begin{eqnarray*} \lambda_4=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda_2-12y+5z=0 \quad\quad\quad\quad \Rightarrow \lambda_2=-12y+5z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\lambda_1=14y-6z \quad\quad\quad\quad\quad \Rightarrow \lambda_1=-7y+3z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = y\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\{y\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}~|~y,z \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

10.01.2013, 11:23

klarsoweit

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RE: (Teilraum) Gauß mit Nullzeile 2 Variablen wählen?

Zitat:

Original von baba2k
Ich habe also 4 Unbekannte und 2 Gleichungen, d.h.
ich muss 2 Variablen frei wählen?

Ja. Die Schlußfolgerung aus der weiteren Rechnung ist doch die, daß du zu jedem lambda_3 und lambda_4 ein lambda_1 und lambda_2 findest, so daß $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \lambda_3\vec{a_3} + \lambda_4\vec{a_4} \end{eqnarray*}$ ist.

Folgerichtig V_1 = V_2.

10.01.2013, 12:52

baba2k

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Ok Danke! Wenn ich das richtig verstanden habe: $\begin{eqnarray*} V_1=V_2 \end{eqnarray*}$ ist ja schon am Anfang vorrausgesetzt. Die Schnittmenge ist also mein $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2013, 13:23

klarsoweit

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Nein, da hast du gar nichts verstanden. Für die Schnittmenge von V1 und V2 werden lambda_1, lambda_2, lambda_3 und lambda_4 gesucht, so daß die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2 = \lambda_3 \cdot a_3 + \lambda_4 \cdot a_4 \end{eqnarray*}$ erfüllt wird.

Aus deiner Rechnung ergibt sich, daß du zu jedem lambda_3 und lambda_4 ein lambda_1 und lambda_2 finden kannst, so daß die Gleichung erfüllt wird. Somit ist jedes Element von V_2 in V_1 enthalten. Da die Dimensionen von V_1 und V_2 gleich sind, folgt V_2 = V_1 .

Dies ergibt sich auch, wenn du überprüfst, ob es zu jedem lambda_1 und lambda_2 ein lambda_3 und lambda_4 gibt, so daß die Gleichung erfüllt wird.

10.01.2013, 13:31

baba2k

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Achso okay smile