Begrenztes Wachstum, wie berechne ich k?

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Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »
Begrenztes Wachstum, wie berechne ich k?
Meine Frage:
Eine Flüssigkeit hat im Kühlschrank eine Temperatur von 6°C. Die Raumtemperatur beträgt 20°C.
Nach 10 Minuten hat die Flüssigkeit eine Temperatur von 17°C. (Hinweis f(10)=17)
a) Bestimme die Funktionsgleichung.
b) Welche Temperatur hat die Flüssigkeit nach 7 Minuten?
c) Wann nimmt die Temperatur erstmals weniger als 1 Grad pro Minute zu ? (Erwärmungsgeschwindigkeit)


Meine Ideen:
Mein Problem liegt bei Aufgabe a). Ich weiß, dass ich für t=10 einsetzen muss. Das habe ich auch getan, aber ich hab Probleme beim unformulieren nach k. Irgendwie kommt da bei mir immer ein negativer Logarithmus raus und das funktioniert nicht..
so weit bin ich :
f(t)= 20-14*e^-k*t
dann setze ich 10 ein, weil ich das ja vorgegeben habe:
f(10)=20-14*e^-k*10
und nun kommen die Probleme.. Könnt ihr mir da helfen ?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum, wie berechne ich k?
Es handelt sich bei der Aufgabe um die Anwendung des newtonschen Abkühlungsgesetzes. Es lautet:

Wobei für die Temperatur des Körpers steht und für die Umgebungstemperatur wie für die Proportionalitätskonstante.
Du solltest als erstes die Umgebungstemperatur einsetzen und anschließend durch Separation der Variablen die DGL lösen.

Edit: Ich sehe gerade das du ja bereits die Funktion korrekt aufgestellt hast. Um nun das k zu bestimmen musst du die Anfangsbedingung Grad Celsius einsetzen. Konkret heißt das:





Diese Gleichung muss nun nach k aufgelöst werden. smile
Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich hab's jetzt mal versucht, aber irgendwo hab' ich schon wieder einen Fehler eingebaut, aber ich weiß nicht wo. Kannst du mir nochmal helfen ?

17=-14*e^-10k+20 |-20
-3=-14*e^-10k |/(-14)
(-3/-14)=e-10k | ln
ln(-3/-14)=ln(-10k)

Danke schonmal smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, würdest du den Bruch, in dem Zähler und Nenner negativ sind, zunächst mal vereinfachen?
Aus



folgt direkt



Anmerkung: e-Potenzen sind immer positiv! Logarithmieren werden wir nur positive Zahlen; k kann durchaus negativ werden (hier IST es)

mY+
Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh das leider nicht unglücklich aber Danke !
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Er meint, daß Dein Fehler hier ist:

Zitat:

(-3/-14)=e-10k | ln
ln(-3/-14)=ln(-10k)


In der zweiten Zeile darf rechts nicht ln(-10k) stehen, sondern natürlich ln(e^(-10k)). Und das ist...?

Viele Grüße
Steffen
 
 
Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsste dann -10 sein, weil der Logarithmus von e gleich 1 ist ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat ist ln von e hoch irgendwas einfach wieder irgendwas.

Aber wo ist denn das k geblieben?

Viele Grüße
Steffen
Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also -10k ?

Liebe Grüße und danke für die Geduld Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Und der Rest ist einfach, oder?

Viele Grüße
Steffen
Moerchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Rest war kein Problem smile
Danke !
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